Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.8 - Ex. 17
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
17.
Passo 1
Show de bola, galera!
O enunciado pede pra gente encontrar o raio e o intervalo de convergência da série.
Simbora aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências.
Vamos calcular o seguinte limite:
- Onde se , a série é divergente.
- Se , a série é convergente.
- E se nada podemos afirmar.
Então, sendo
O termo seguinte será:
Passo 2
Resolvendo o limite acima, temos:
Nesse limite, para que não dê indeterminações, vamos arrumar:
Colocando em evidência no denominador e cancelando os termos em comum:
Substituindo, e sabendo que :
Logo, pelo Teste da Razão, nossa série convergirá para
Ou seja, para .
Pronto! Já achamos o nosso raio de convergência .
Passo 3
Show de bola!
A princípio já sabemos que a nossa série convergirá para o intervalo em que , ou seja,
Portanto, convergirá para o intervalo em função do nosso raio de convergência.
Mas e para os extremos do intervalo e ? É o que vamos calcular agora.
Passo 4
Quando , ficamos com a série
que, pelo Teste da Série Alternada, é uma série convergente.
Já para , ficamos com a série
Que é uma p-série com , e, portanto, uma série divergente.
Desta forma, chegamos que o intervalo de convergência é dado por .