31 - Integrais elípticas - O comprimento da elipse:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

vem a ser:

C o m p r i m e n t o =   4 a ∫ 0 π 2 1 - e 2 cos 2 ⁡ t d t

onde e = a 2 - b 2 a é a excentricidade da elipse. A integral nesta fórmula chamada integral elíptica , é não elementar, exceto quando e = 0 ou 1.

A – Use a regra do trapézio com n = 10 para estimar o comprimento da elipse quando a = 1 e e = 1 2 .

Passo 1

Inserindo os valores na integral:

4 ⋅ 1 ∫ 0 π 2 1 - 1 2 2 cos 2 ⁡ t   d t

4 ∫ 0 π / 2 1 - 1 4 cos 2 ⁡ t d t

Vamos cortar o 1 4 da integral fazendo o seguinte:

2 ∫ 0 π / 2 2 1 - 1 4 cos 2 ⁡ t d t = 2 ∫ 0 π / 2 2 2 1 - 1 4 cos 2 ⁡ t   d t = 2 ∫ 0 π / 2 4 - cos 2 ⁡ t d t

Passo 2

Assim tems que:

2 ∫ 0 π / 2 4 - cos 2 ⁡ t   d t = ∫ 0 π 2 f ( t )   d t

Utilizaremos agora a regra do trapézio:

Para n = 1 ,   a = 0 ,   b = π 2

Pela regra temos:

∆ t = b - a n = π 2 - 0 10 = π 20

Inserindo na integral:

π 20 ∫ 0 π / 2 4 - cos 2 ⁡ t d t ≈ ∑ n = 0 10 m f ( X n )

Analisando a tabela:

Assim:

∑ n = 0 10 m f ( X n ) = 37.3686183

Passo 3

Assim utilizando os dados que temos até agora poderemos calcular:

T = ∆ t 2 37.3686183

Como temos: ∆ t = π 20

T = π 20 2 37.3686183 = π 40 37.3686183 =   2.934924419

Multiplicando o que obtemos com o 2 que estava multiplicando a integral, teremos:

2 2.934924419 ≈ 5,870

Resposta

≈ 5,87 0

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