Exercício 22 –

Calcule a Integral abaixo:

∫ 0 ∞ 2 e - θ s e n   θ   d θ

Passo 1

Como temos uma integral imprópria, pois seu limite de integração b é . Poderemos escrever ela em forma de limites, observe:

lim b → ∞ ⁡ ∫ 0 b 2 e - θ s e n   θ   d θ

Desta forma calcularemos primeiro a integral dos limites de b a 0 e depois calcularemos o limite:

∫ 0 b 2 e - θ   s e n   θ   d θ

Primeiramente calcularemos a integral como indefinida:

2 ∫ e - θ s e n   θ   d θ

Passo 2

Utilizando a fórmula 114 da página 633, para a = -1 e b = 1:

∫ e a x s e n   b x   d x = e a x a 2 + b 2 ( a   s e n   x - b cos ⁡ b   )

Substituindo teremos:

2 ∫ e - θ   s e n   θ   d θ = 2 e - θ - 1 2 + 1 2 - 1   s e n   θ - 1   c o s θ

Organizando os termos:

2 e - θ 2 - s e n θ - c o s θ

Inserindo agora os limites de integração:

2 e - θ 2 - s e n θ - c o s θ 0 b

2 e - b 2 - s e n b   - c o s b - 2 e - 0 2 - s e n   0 - cos ⁡ 0

Organizando os termos, assim como:

e - b = 1 e b ,   e ,   e - 0 = 1 e 0

2 1 2 e b - s e n b   - c o s b - 2 1 2 e 0 - s e n   0 - cos ⁡ 0

Passo 3

Resolvendo agora o limite:

lim b → ∞ ⁡ 2 1 2 e b - s e n b   - c o s b - 2 1 2 e 0 - s e n   0 - cos ⁡ 0

Resolvendo o limite:

- 2 ( s e n   ∞ + cos ⁡ ∞ ) 2 e ∞ + 2 ( s e n   0 + cos ⁡ 0 ) 2 e 0

Sabemos que: e ∞ = ∞

E todo número dividido por infinito em limites é 0, assim por regra matemática a 0 = 1   ,   ∀ a   ≠ 0 .

- 2   ( s e n   ∞ + cos ⁡ ∞ ) 2 ∞ + 2 0 + 1 2 ⋅ 1

- ( s e n ∞ + cos ⁡ ∞ ) ∞ + 1 = 0 + 1 = 1

Resposta

1

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