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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 22

Exercício 22 –

Calcule a Integral abaixo:

int_0^(oo) 2 e^(- theta) s e n theta d theta

Passo 1

Como temos uma integral imprópria, pois seu limite de integração b é oo . Poderemos escrever ela em forma de limites, observe:

underset(b -> oo)(lim) int_0^b 2 e^(- theta) s e n theta d theta

Desta forma calcularemos primeiro a integral dos limites de b a 0 e depois calcularemos o limite:

int_0^b 2 e^(- theta) s e n theta d theta

Primeiramente calcularemos a integral como indefinida:

2 int e^(- theta) s e n theta d theta

Passo 2

Utilizando a fórmula 114 da página 633, para a = -1 e b = 1:

int e^(a x) s e n b x d x = (e^(a x))/(a^2 + b^2) ( a s e n x - b cos b )

Substituindo teremos:

2 int e^(- theta) s e n theta d theta = 2 ((e^(- theta))/((- 1)^2 + (1)^2) (- 1 s e n theta - 1 c o s theta))

Organizando os termos:

2 ((e^(- theta))/(2) (- s e n theta - c o s theta))

Inserindo agora os limites de integração:

[2 ((e^(- theta))/(2) (- s e n theta - c o s theta))]_0^b

2 ((e^(- b))/(2) (- s e n b - c o s b)) - 2 ((e^(- 0))/(2) (- s e n 0 - cos 0))

Organizando os termos, assim como:

e^(- b) = (1)/(e^b) , e , e^(- 0) = (1)/(e^0)

2 ((1)/(2 e^b) (- s e n b - c o s b)) - 2 ((1)/(2 e^0) (- s e n 0 - cos 0))

Passo 3

Resolvendo agora o limite:

underset(b -> oo)(lim) 2 ((1)/(2 e^b) (- s e n b - c o s b)) - 2 ((1)/(2 e^0) (- s e n 0 - cos 0))

Resolvendo o limite:

(- 2 ( s e n oo + cos oo ))/(2 e^(oo)) + (2 ( s e n 0 + cos 0 ))/(2 e^0)

Sabemos que: e^(oo) = oo

E todo número dividido por infinito em limites é 0, assim por regra matemática a^0 = 1 , AA a != 0 .

(- 2 ( s e n oo + cos oo ))/(2 oo) + (2 (0 + 1))/(2 * 1)

((- ( s e n oo + cos oo )))/(oo) + 1 = 0 + 1 = 1

Resposta

1

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Calcule a intefral abaixo sem usar tabela:int_0^2 (d x)/(sqrt(|x - 1|))
Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar as integrais quanto à cinvergência. ∫ 0 π 2 c o t gθd θ