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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 4

Identifique os pontos de inflexão e os máximos e mínimos locais da função representada graficamente. Identifique os intervalos em que a função é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo.

Passo 1

Veja que se fizermos a distributiva na função ficamos com: y = 9 14 x 7 3 - 9 2 x 1 3

Agora vamos calcular a derivada primeira e segunda:

y ' = 9 14 7 3 x 4 3 - 9 2 1 3 x - 2 3

y ' = 3 2 x 4 3 - 3 2 x - 2 3

y ' = 3 x 2 - 3 2 x 2 3

y ' ' = 6 x 2 x 2 3 - 4 3 x - 1 3 3 x 2 - 3 2 x 2 3 2 = 12 x 5 3 - 4 5 3 + 4 x - 1 3 4 x 4 3 = 8 x 5 3 4 x 4 3   + 4 x - 1 3 4 x 4 3 = 2 x 1 3 + x - 5 3 = 2 x 1 3 + 1 x 5 3

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y ' = 3 x 2 - 3 2 x 2 3 = 0   ( x ≠ 0 ) → 3 x 2 - 3 = 0  

3 x 2 = 3 → x 2 = 1 → x ± 1

Esses são nossos pontos críticos.

Vamos ver se são pontos de máximo ou mínimo pela derivada segunda:

y ' ' - 1 =   - 2 - 1 = - 3 < 0

y ' ' 1 = 2 + 1 = 3 > 0

Então a função possui um ponto de máximo em x = - 1 e um ponto de mínimo em x = 1 .

Passo 3

Os pontos de inflexão são onde muda a concavidade, então vamos ver em que pontos a derivada segunda é positiva ou negativa...

y ' ' = 2 x 1 3 + 1 x 5 3 > 0

y ' ' = 2 x 3 + 1 x 5 3 > 0 → 2 x 3 >   - 1 x 5 3     ( p a r a   t o d o   x )

Então, a derivada segunda será positiva se x > 0 e negativa se x < 0 .

Ou seja, a concavidade é para baixo em - ∞ ,   0 .   E a concavidade é para cima em ( 0 , ∞ ) . O ponto de inflexão então é ( 0,0 )

Resposta

Ponto de máximo em x = - 1 e ponto de mínimo em x =   1 .

Concavidade para baixo em - ∞ ,   0     e para cima em 0 , ∞ . O ponto de inflexão é: ( 0,0 ) .

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