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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 26

No Exercício ∫ s 4 + 81 s . ( s 2 + 9 ) 2       d s , expresse o integrando como soma de frações parciais e calcule as integrais.

Passo 1

Para integrar de acordo como o enuciado pede devemos, inicialmente, achamos as constantes da fração parcial e em seguida calcular a integral. Para isso usaremos a fórmula:

P ( x ) ( x - a ) n   =   A 1 ( x - a )   + A 2 ( x - a ) 2 + . . . + A n ( x - a ) n

Ou

P ( x ) ( x - a ) 2 + b 2 n   =   A 1 . x + B 1 ( x - a ) 2 + b 2   + A 2 . x +   B 2 ( x - a ) 2 + b 2 n + . . . + A n . x + B n ( x - a ) 2 + b 2 n

Passo 2

Para encontrar o valos da constantes primeiramente vamos separar o denominador para formar o maior número de fração possível “revertendo” o mmc:

s 4 + 81 s . ( s 2 + 9 ) 2 = A s   + B s + C s 2 + 9 + D s + E ( s 2 + 9 ) 2

s 4 + 81 = A . ( s 2 + 9 ) 2 + ( B s + C ) . s 2 + 9 . s + ( D s + E ) . s

s 4 + 81 = A . s 4 + 18 s 2 + 81 + ( B s + C ) . s 3 + 9 s + D s 2 + E s

s 4 + 81 = A s 4 + 18 A s 2 + 81 A + B s 4 + 9 B s 2 + C s 3 + 9 C s + D s 2 + E s

s 4 + 81 =   ( A + B ) s 4 + C s 3 + ( 18 A + 9 B + D ) s 2 + ( 9 C + E ) s + 81 A

Analizando os dois lados da igualdade percebemos que não aparece s 3 , s 2 e nem s. Logo é possível concluir que:

A + B = 1

C = 0

18 A   +   9 B + D = 0

9 C + E = 0

A = 1

Substituindo o valor de “A” na primeira equação encontramos o valor de “B”:

A + B = 1

1 + B = 1

B = 0

Com o resultado de “A” e “B” substituimos na terceira equação:

18 A   +   9 B + D = 0

18.1   +   9.0 + D = 0

18 + D = 0

D = - 18

Por fim encontramos o valor de “E” substituindo o valor de “C” na quarta equação:

9 C + E = 0

9.0 + E = 0

E = 0

Substituimos agora no lugar das constantes:

s 4 + 81 s . ( s 2 + 9 ) 2 = A s   + B s + C s 2 + 9 + D s + E ( s 2 + 9 ) 2

= 1 s   + 0 s + 0 s 2 + 9 + ( - 18 ) s + 0 ( s 2 + 9 ) 2

= 1 s - 18 s ( s 2 + 9 ) 2

Passo 3

Agora calculamos a integral das frações parciais:

∫ s 4 + 81 s . ( s 2 + 9 ) 2     d s   = ∫ 1 s d s     - ∫ 18 s ( s 2 + 9 ) 2   d s

= l n   s     - 18 ∫ s ( s 2 + 9 ) 2   d s

Para resolver ∫ s ( s 2 + 9 ) 2   d s usaremos o método da substituição:

t = s 2 + 9

d t = s 2 + 9 '   d s

d t = 2 s   d s

multiplicamos por um valor neutro para que possa substituir. É possível notar que 2 2 é o melhor número pois é o mesmo que multiplicar por 1

= 2 2 ∫ s ( s 2 + 9 ) 2   d s

= 1 2 ∫ 2 s ( s 2 + 9 ) 2   d s

= 1 2 ∫ 1 t 2   d t

= 1 2 ∫ t - 2   d t

= 1 2 t - 2 + 1 - 2 + 1

= 1 2 t - 1 - 1

= 1 2 - 1 t

= 1 2 - 1 s 2 + 9

= - 1 2 ( s 2 + 9 )

Substituindo:

= l n   s     - 18 ∫ s ( s 2 + 9 ) 2   d s

= l n   s     - 18 - 1 2 ( s 2 + 9 )

= l n   s     + 9 ( s 2 + 9 ) + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração).

Resposta

∫ s 4 + 81 s . ( s 2 + 9 ) 2       d s = l n   s     + 9 ( s 2 + 9 ) + c

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