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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.5 - Ex. 18

int (2 x^2 - 2 x + 1)/(2 x^5 - x^4) d x

Passo 1

Primeiro vamos arranjar a equação de forma mais conveniente para resolver as frações parcias. Esse passo é feito manipulando as funções, fazendo que ela fique de forma mais agradável para gente, geralmente usamos as raízes para reescrever as equações.

int (2 x^2 - 2 x + 1)/(x^4 ( 2 x - 1 )) d x

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

(2 x^2 - 2 x + 1)/(x^4 ( 2 x - 1 )) = (A)/(x^4) + (B)/(x^3) + (C)/(x^2) + (D)/(x) + (E)/(( 2 x - 1 ))

Isolando 2 x^2 - 2 x + 1 , vamos achar

2 x^2 - 2 x + 1 = A (2 x - 1) + B x (2 x - 1) + C x^2 (2 x - 1) + D x^3 (2 x - 1) + E x^4

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = - 1 ; B = 0 ; C = 0 ; D = 0 ; E = 2

Agora substituindo os valores de A, B e C, temos:

(2 x^2 - 2 x + 1)/(x^4 ( 2 x - 1 )) = - (1)/(x^4) + (2)/(( 2 x - 1 ))

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

int (2 x^2 - 2 x + 1)/(x^4 ( 2 x - 1 )) d x = - int (1)/(x^4) d x + int (2)/(( 2 x - 1 )) d x

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

int (2 x^2 - 2 x + 1)/(x^4 (2 x - 1)) d x = 1 // ( 3 x^3 ) + 2 // x + 4 l n | 1 - 2 x | - 4 l n | x |

Resposta

int (2 x^2 - 2 x + 1)/(2 x^5 - x^4) d x = 1 // ( 3 x^3 ) + 2 // x + 4 l n | 1 - 2 x | - 4 l n | x | + c

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