Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 41

Calcule a integral abaixo:

41 –

int (cos y d y)/(s e n^2 y + s e n y - 6)

Passo 1

Primeiramente urilizaremos o método de substituição udu:

u = s e n y

d u = cos y d y

d y = (1)/(d u) = (1)/(cos y)

Substituindo:

int (cos y)/(u ² + u - 6) * (1)/(cos y) d u = int (1)/(u^2 + u - 6) d u

u^2 + u - 6 = ( u + 3 ) ( u - 2 )

Assim:

int (1)/(( u + 3 ) ( u - 2 )) d u

Resolvendo pelo método de frações parciais:

(1)/(( u + 3 ) ( u - 2 )) = (A)/(u - 2) + (B)/(u + 3)

Resolvendo mmc:

(1)/(( u + 3 ) ( u - 2 )) = (A ( u + 3 ) + B ( u - 2 ))/(( u + 3 ) ( u - 2 ))

Podemos cortar os denominadores, assim teremos:

1 = A (u + 3) + B ( u - 2 )

Resolvendo a multiplicação:

1 = A u + 3 A + B u - 2 B

Colocando em evidência:

1 = (A + B) u + 3 A - 2 B

Assim:

A + B = 0

3 A - 2 B = 1

Fazendo na primeira equação:

A = - B

Substituindo na segunda:

3 (- B) - 2 B = 1 ; - 3 B - B = 1 ; - 5 B = 1 ; B = - (1)/(5)

Assim como: A = - B ; A = - (- (1)/(5)) ; A = (1)/(5)

Assim:

(1)/(( u + 3 ) ( u - 2 )) = ((1)/(5))/(u - 2) + (- (1)/(5))/(u + 3)

(1)/(( u + 3 ) ( u - 2 )) = (1)/(5 ( u - 2 )) - (1)/(5 ( u + 3 ))

Substituindo na integral:

int (1)/(5) ((1)/(u - 2) - (1)/(u + 3)) d u = (1)/(5) int (1)/(u - 2) - (1)/(u + 3) d u

Passo 2

Separando as integrais:

(1)/(5) (int (1)/(u - 2) d u - int (1)/(u + 3) d u)

Resoolvendo a primeira integral:

(1)/(5) int (1)/(u - 2) d u = (1)/(5) ln (|u - 2|)

Resolvendo a segunda integral:

- (1)/(5) ln (|u + 3|)

Passo 3

Juntando os resultados das integrais:

(1)/(5) ln (| u - 2 |) - (1)/(5) ln (|u + 3|)

Juntando os resultados obtidos, para u = s e n y

(1)/(5) ln (|s e n y - 2|) - (1)/(5) ln (|s e n y + 3|) = (1)/(5) ln (|(s e n y - 2)/(s e n y + 3)|) + C

Resposta

(1)/(5) ln (|(s e n y - 2)/(s e n y + 3)|) + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral completando o quadrado e usando a fórmula 6. ∫ 1 x 2 - 2 x d x
Use integração por partes, juntamente com as técnicas desta seção, para calcular a integral. ∫ ln ⁡ ( x 2 - x + 2 )d x
Calcule a integral completando o quadrado e usando a fórmula 6. ∫ 2 x + 1 4 x 2 + 12 x - 7 d x
Trace a função y = 1 // ( x^3 - 2 x^2 ) e sua primitiva na mesma tela.
Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral. ∫ e x ( e x - 2 ) ( e 2 x + 1 ) d x