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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.5 - Ex. 15

int (3 z + 1)/(( z^2 - 4 )) d z

Passo 1

Primeiro vamos arranjar a equação de forma mais conveniente para resolver as frações parcias. Esse passo é feito manipulando as funções, fazendo que ela fique de forma mais agradável para gente, geralmente usamos as raízes para reescrever as equações.

int (3 z + 1)/(( z - 2 ) ( z + 2 )) d z

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

(3 z + 1)/(( z - 2 ) ( z + 2 )) = (A)/(( z - 2 )) + (B)/(( z + 2 ))

Isolando 3 z + 1 , vamos achar

3 z + 1 = A ( z + 2 ) + B ( z - 2 )

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = (7)/(4) ; B = (5)/(4) ;

Agora substituindo os valores de A, B e C, temos:

(3 z + 1)/(( z - 2 ) ( z + 2 )) = ((7)/(4))/(( z - 2 )) + ((5)/(4))/(( z + 2 ))

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

int (3 z + 1)/(( z - 2 ) ( z + 2 )) d z = int ((7)/(4))/(( z - 2 )) d z + int ((5)/(4))/(( z + 2 )) d z

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

int (3 z + 1)/(( z - 2 ) ( z + 2 )) d z = (7)/(4) ln | 2 - z | + (5)/(4) ln |z + 2|

Resposta

int (3 z + 1)/(( z^2 - 4 )) d z = (7)/(4) ln | 2 - z | + (5)/(4) ln |z + 2| + c

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