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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 29

No Exercício ∫ x 2 x 4 - 1   d x , expresse o integrando como soma de frações parciais e calcule as integrais.

Passo 1

Para integrar de acordo como o enuciado pede devemos, inicialmente, achamos as constantes da fração parcial e em seguida calcular a integral. Para isso usaremos a fórmula:

P ( x ) ( x - a ) n   =   A 1 ( x - a )   + A 2 ( x - a ) 2 + . . . + A n ( x - a ) n

Ou

P ( x ) ( x - a ) 2 + b 2 n   =   A 1 . x + B 1 ( x - a ) 2 + b 2   + A 2 . x +   B 2 ( x - a ) 2 + b 2 n + . . . + A n . x + B n ( x - a ) 2 + b 2 n

Passo 2

Primeiro vamos reorganizar a fração usando diferença de quadrados:

x 2 x 4 - 1 = x 2 x 2 - 1 x 2 + 1

Usando diferença de quadrados novamente:

= x 2 x - 1 x + 1 x 2 + 1

Para encontrar o valos da constantes primeiramente vamos separar o denominador para formar o maior número de fração possível “revertendo” o mmc:

x 2 x - 1 x + 1 x 2 + 1   =   A x - 1 + B x + 1 + C x + D x 2 + 1

x 2 = A x + 1 x 2 + 1 + B x - 1 x 2 + 1 + C x + D x - 1 x + 1

x 2 = A x + A x 2 + 1 + B x - B x 2 + 1 + C x + D x 2 - 1

x 2 = A x 3 + A x + A x 2 + A + B x 3 + B x - B x 2 + B + C x 3 - C x + D x 2   - D

x 2 = ( A + B + C ) x 3   + ( A - B + D ) x 2 + ( A + B - C ) x   + ( A - B   - D )

Analizando a equação, igualamos os valores nos parenteses aos coeficientes do outro lado da equação:

A + B + C = 0

A - B + D = 1

A + B - C = 0

A - B   - D = 0

Somando todas as equações encontramos valor de “A”

A + B + C + A - B + D + A + B - C + A - B   - D = 0 + 1 + 0 + 0

4 A = 1

A = 1 4

Somamos a primeira e a terceira equação para encontrar valor de “B”:

A + B + C = 0

A + B - C = 0

A + B + C + A + B - C = 0 + 0

2 A + 2 B =   0

2 . 1 4 + 2 B =   0

1 2 + 2 B =   0

2 B = - 1 2

B = - 1 4

Substituimos os valores na terceira equação para encontrar valor de “C”:

A + B - C = 0

1 4 + - 1 4 - C = 0

C =   0

Substituimos os valores na quarta equação para encontrar valor de “D”:

1 4 - - 1 4   - D = 0

1 4 + 1 4   - D =   0

2 4 - D =   0

1 2 - D =   0

D =   1 2

Por último, substituimos agora no lugar das constantes:

x 2 x - 1 x + 1 x 2 + 1   =   1 4 x - 1 + - 1 4 x + 1 + 0 x +   1 2 x 2 + 1

= 1 4 .   1 x - 1 - 1 4 . 1 x + 1 + 1 2 . 1   x 2 + 1

Passo 3

Agora calculamos a integral das frações parciais:

∫ x 2 x 4 - 1   d x = ∫ 1 4 .   1 x - 1 - ∫ 1 4 1 x + 1 + ∫ 1 2 . 1   x 2 + 1

= 1 4 ∫   1 x - 1 - 1 4 ∫ 1 x + 1 + 1 2 ∫ 1   x 2 + 1

= 1 4 . l n   x - 1 - 1 4 . l n x + 1 + 1 2 t g - 1 x   + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

∫ x 2 x 4 - 1   d x = 1 4 . l n   x - 1 - 1 4 . l n x + 1 + 1 2 t g - 1 x   + c

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