Calcule a integral indefinida.

∫ 3 x - 1 x 2 - x + 1 d x

Passo 1

Para calcular essa integral, primeiro vamos manipular um pouco:

∫ 3 x - 1 x 2 - x + 1 d x = ∫ 3 x x 2 - x + 1 d x + ∫ - 1 x 2 - x + 1 d x =

= ∫ 3 x x 2 - x + 1 d x - ∫ 1 x 2 - x + 1 d x = 3 2 ∫ 2 x - 1 + 1 x 2 - x + 1 d x - ∫ 1 x 2 - x + 1 d x =

= 3 2 ∫ 2 x - 1 x 2 - x + 1 d x + 3 2 ∫ 1 x 2 - x + 1 d x - ∫ 1 x 2 - x + 1 d x =

= 3 2 ∫ 2 x - 1 x 2 - x + 1 d x + 1 2 ∫ 1 x 2 - x + 1 d x

Passo 2

Com a primeira vamos usar a Regra da Substituição:

s = x 2 - x + 1

Vamos agora achar diferencial de s , derivando:

d s = 2 x - 1   d x

Fazendo a substituição ficamos com:

3 2 ∫ 2 x - 1 x 2 - x + 1 d x = 3 2 ∫ 1 s d s

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

3 2 ∫ 1 s d s = 3 2 ln ⁡ s + C

Passo 3

Já com a segunda vamos completar quadrado:

1 2 ∫ 1 x 2 - x + 1 d x = 1 2 ∫ 1 x - 1 2 2 + 3 4 d x

Vamos usar a Regra da Substituição:

r = x - 1 2

Vamos agora achar diferencial de r , derivando:

d r = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

1 2 ∫ 1 x - 1 2 2 + 3 4 d x = 1 2 ∫ 1 r 2 + 3 4 d r = 1 2 ∫ 4 4 r 2 + 3 4 d r = 1 2 ∫ 4 4 r 2 + 3 d r =

= 2 ∫ 1 4 r 2 + 3 d r

Passo 4

Vamos usar outra Substituição:

r = 3 2 u

Vamos agora achar diferencial de r , derivando:

d r = 3 2 d u

Fazendo a substituição ficamos com:

2 ∫ 1 4 r 2 + 3 d r = 2 ⋅ 3 2 ∫ 1 4 3 u 2 4 + 3 d u = 3 ∫ 1 3 u 2 + 3 d u = 3 3 ∫ 1 u 2 + 1 d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x 2 + 1 d x = arctg ⁡ x + C

Aplicando:

3 3 ∫ 1 u 2 + 1 d u = 3 3 arctg ⁡ u + C

Passo 5

Agora é só juntar tudo:

3 2 ∫ 2 x - 1 x 2 - x + 1 d x + 1 2 ∫ 1 x 2 - x + 1 d x = 3 2 ln ⁡ s + 3 3 arctg ⁡ u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ 3 x - 1 x 2 - x + 1 d x = 3 2 ln ⁡ s + 3 3 arctg ⁡ u + C = 3 2 ln ⁡ x 2 - x + 1 + 3 3 arctg ⁡ 2 r 3 + C =

= 3 2 ln ⁡ x 2 - x + 1 + 3 3 arctg ⁡ 2 x - 1 2 3 + C =

= 3 2 ln ⁡ x 2 - x + 1 + 3 3 arctg ⁡ 2 x - 2 3 + C

Resposta

∫ 3 x - 1 x 2 - x + 1 d x = 3 2 ln ⁡ x 2 - x + 1 + 3 3 arctg ⁡ 2 x - 2 3 + C

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