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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.6 - Ex. 19

Calcule a integral indefinida.

int (x^3 + x^2 + 2 x + 1)/(x^3 - 1) d x

Passo 1

Pra começar a gente pode dividir a função de cima pela de baixo.

O quociente vai dar 1 e vai sobrar x^2 + 2 x + 2 . Então a gente pode reescrever a integral como:

int 1 + (x^2 + 2 x + 2)/(x^3 - 1) d x

Separando:

int 1 d x + int (x^2 + 2 x + 2)/(x^3 - 1) d x

A primeira a gente sabe que dá x , então bora calcular a segunda...

Passo 2

int (x^2 + 2 x + 2)/(x^3 - 1) d x

A gente pode fatorar o denominador como:

x^3 - 1 = ( x - 1 ) ( x^2 + x + 1 )

E aí nossa função fica:

(x^2 + 2 x + 2)/((x - 1) (x^2 + x + 1))

Temos um termo linear e um quadrático irredutível, então a gente vai usar frações parciais assim:

(x^2 + 2 x + 2)/((x - 1) (x^2 + x + 1)) = (A)/(x - 1) + (B x + C)/(x^2 + x + 1)

Passo 3

Vamos calcular A , B e C agora:

(x^2 + 2 x + 2)/((x - 1) (x^2 + x + 1)) = (A ( x^2 + x + 1 ))/(x - 1) + (( B x + C ) ( x - 1 ))/(x^2 + x + 1)

Cortamos os denominadores agora...

x^2 + 2 x + 2 = A x^2 + A x + A + B x^2 - B x + C x - C

x^2 + 2 x + 2 = x^2 (A + B) + x (A - B + C) + A - C

Pra isso ser verdadeiro, a gente precisa que:

A + B = 1

A - B + C = 2

A - C = 2

Aí aqui a gente descobre que A = (5)/(3) , B = - (2)/(3) e C = - (1)/(3) .

Nossa fração então virou:

(5)/(3 ( x - 1 )) + (- 2 x - 1)/(3 ( x^2 + x + 1 ))

Passo 4

Beleza, agora a gente integra:

int (5)/(3 (x - 1)) - (2 x + 1)/(3 (x^2 + x + 1)) d x

A gente pode separar assim:

(5)/(3) int (1)/(x - 1) d x - (1)/(3) int (2 x + 1)/(x^2 + x + 1) d x

Aí integrando a primeira direto, temos:

(5)/(3) (ln |x - 1|)

E a segunda a gente faz substituição. Vamos fazer u = x^2 + x + 1 , aí d u = 2 x + 1 .

- (1)/(3) int (d u)/(u) = - (1)/(3) ln u = - (1)/(3) ln (x^2 + x + 1)

Prontinho! Agora é só juntar as duas e somar a constante:

I = (5)/(3) (ln |x - 1|) - (1)/(3) ln (x^2 + x + 1) + C

E... acabou!

Resposta

I = (5)/(3) (ln |x - 1|) - (1)/(3) ln (x^2 + x + 1) + C

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