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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.6 - Ex. 13

Calcule a integral indefinida.

int (x - 1)/((x^2 + 2 x + 3)^2) d x

Passo 1

Para calcular essa integral, primeiro vamos manipular um pouco:

int (x - 1)/((x^2 + 2 x + 3)^2) d x = int (x)/((x^2 + 2 x + 3)^2) d x + int (- 1)/((x^2 + 2 x + 3)^2) d x =

= (1)/(2) int (2 x + 2 - 2)/((x^2 + 2 x + 3)^2) d x - int (1)/((x^2 + 2 x + 3)^2) d x =

= (1)/(2) int (2 x + 2)/((x^2 + 2 x + 3)^2) d x + (1)/(2) int (- 2)/((x^2 + 2 x + 3)^2) d x - int (1)/((x^2 + 2 x + 3)^2) d x =

= (1)/(2) int (2 x + 2)/((x^2 + 2 x + 3)^2) d x - int (1)/((x^2 + 2 x + 3)^2) d x - int (1)/((x^2 + 2 x + 3)^2) d x =

= (1)/(2) int (2 x + 2)/((x^2 + 2 x + 3)^2) d x - 2 int (1)/((x^2 + 2 x + 3)^2) d x

Passo 2

Com a primeira vamos usar a Regra da Substituição:

u = x^2 + 2 x + 3

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 2 x + 2 d x

Fazendo a substituição ficamos com:

(1)/(2) int (2 x + 2)/((x^2 + 2 x + 3)^2) d x = (1)/(2) int (1)/(u^2) d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Aplicando:

(1)/(2) int (1)/(u^2) d u = (1)/(2) int u^(- 2) d u = (1)/(2) * (u^(- 2 + 1))/(- 2 + 1) + C = (1)/(2) * (u^(- 1))/(- 1) + C = (1)/(2 u) + C

Passo 3

Com a segunda vamos completar quadrado:

- 2 int (1)/((x^2 + 2 x + 3)^2) d x = - 2 int (1)/(((x + 1)^2 + 2)^2) d x

Vamos usar a Regra da Substituição:

r = x + 1

Vamos agora achar diferencial de r , derivando:

d r = 1 + 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

- 2 int (1)/(((x + 1)^2 + 2)^2) d x = - 2 int (1)/((r^2 + 2)^2) d r

Passo 4

Vamos usar outra Substituição:

r = sqrt(2) t

Vamos agora achar diferencial de r , derivando:

d r = sqrt(2) d t

Fazendo a substituição ficamos com:

- 2 int (1)/((r^2 + 2)^2) d r = - 2 int (1)/((2 t^2 + 2)^2) sqrt(2) d t = - 2 sqrt(2) int (1)/(4 (t^2 + 1)^2) d t = - (sqrt(2))/(2) int (1)/((t^2 + 1)^2) d t

Passo 5

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma sqrt(x^2 + a^2) , nesse formato de expressão vamos fazer t = a tg theta e utilizar a identidade trigonométrica 1 + tg^2 theta = sec^2 theta :

t = tg theta -> theta = arctg t

d t = sec^2 theta d theta

Substituindo temos:

- (sqrt(2))/(2) int (1)/((t^2 + 1)^2) d t = - (sqrt(2))/(2) int (1)/((tg^2 theta + 1)^2) sec^2 theta d theta = - (sqrt(2))/(2) int (1)/((tg^2 theta + 1)^2) sec^2 theta d theta

Agora usando a identidade trigonométrica:

- (sqrt(2))/(2) int (1)/((tg^2 theta + 1)^2) sec^2 theta d theta = - (sqrt(2))/(2) int (1)/((sec^2 theta)^2) sec^2 theta d theta = - (sqrt(2))/(2) int (1)/(sec^4 theta) sec^2 theta d theta =

= - (sqrt(2))/(2) int (1)/(sec^2 theta) d theta = - (sqrt(2))/(2) int (1)/((1)/(cos^2 theta)) d theta = - (sqrt(2))/(2) int cos^2 theta d theta

Vamos usar outra identidade:

- (sqrt(2))/(2) int cos^2 theta d theta = - (sqrt(2))/(2) int (1)/(2) + (1)/(2) cos 2 theta d theta = - (sqrt(2))/(2) (int (1)/(2) d theta + int (1)/(2) cos 2 theta d theta)

Passo 6

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando as expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int k d x = k x + C

int cos x d x = sen x + C

Agora é só aplicar:

- (sqrt(2))/(2) (int (1)/(2) d theta + int (1)/(2) cos 2 theta d theta) = - (sqrt(2))/(2) ((1)/(2) theta + (1)/(4) sen 2 theta) + C

Agora vamos juntar tudo:

(1)/(2) int (2 x + 2)/((x^2 + 2 x + 3)^2) d x - 2 int (1)/((x^2 + 2 x + 3)^2) d x = (1)/(2 u) - (sqrt(2))/(2) ((1)/(2) theta + (1)/(4) sen 2 theta) + C

Passo 7

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x :

int (x - 1)/((x^2 + 2 x + 3)^2) d x = (1)/(2 u) - (sqrt(2))/(2) ((1)/(2) theta + (1)/(4) sen 2 theta) + C =

= (1)/(2 (x^2 + 2 x + 3)) - (sqrt(2))/(2) ((1)/(2) arctg t + (1)/(4) sen (2 arctg t)) + C =

= (1)/(2 (x^2 + 2 x + 3)) - (sqrt(2))/(2) ((1)/(2) arctg (r)/(sqrt(2)) + (1)/(4) sen (2 arctg t)) + C =

= (1)/(2 (x^2 + 2 x + 3)) - (sqrt(2))/(2) ((1)/(2) arctg (x + 1)/(sqrt(2)) + (1)/(4) sen (2 arctg t)) + C

Resposta

int (x - 1)/((x^2 + 2 x + 3)^2) d x = (1)/(2 (x^2 + 2 x + 3)) - (sqrt(2))/(2) ((1)/(2) arctg (x + 1)/(sqrt(2)) + (1)/(4) sen (2 arctg t)) + C

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