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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 34

No Exercício ∫ x   4 x 2 - 1 d x , realize uma divisão longa no integrando, escreva a fração própria como soma de frações parciais e então calcule a integral.

Passo 1

A questão pede para fazermos uma divisão no integrando, ou seja, uma divisão de polinômios quem vai transfórma-los em uma fração própria. Depois faremos uma integral de frações parciais.

Passo 2

Primeiro vamos reorganizar para simplificar:

x   4 x 2 - 1 = ( x 2 + 1 ) + 1 x 2 - 1

Agora após resolver a divisão, vamos transformar 1 x 2 - 1 em frações parciais:

1 x 2 - 1   = 1 ( x + 1 ) ( x - 1 )

1 ( x + 1 ) ( x - 1 ) = A ( x + 1 ) + B ( x - 1 )

1 = A ( x - 1 )   + B ( x + 1 )

1 = A x - A   + B x + B  

1 = A + B x - A   + B  

Montando o sistema:

A + B = 0 - A + B = 1

_____________

2 B = 1  

B = 1 2

Substituindo:

A + B = 0

A + 1 2 = 0

A = - 1 2

Logo as frações parciais serão:

1 ( x + 1 ) ( x - 1 ) = - 1 2 ( x + 1 ) + 1 2 ( x - 1 )

= - 1 2 . 1 ( x + 1 ) + 1 2 . 1 ( x - 1 )

Portanto:

( x 2 + 1 ) + 1 x 2 - 1 = ( x 2 + 1 ) - 1 2 . 1 ( x + 1 ) + 1 2 . 1 ( x - 1 )

Passo 3

Agora sim podemos resolver a integral:

∫ x   4 x 2 - 1 d x = ∫ ( x 2 + 1 ) - 1 2 . 1 ( x + 1 ) + 1 2 . 1 ( x - 1 )   d x

= ∫ ( x 2 + 1 )   d x - ∫ 1 2 . 1 ( x + 1 )   d x + ∫ 1 2 . 1 ( x - 1 )   d x

= ∫ x 2 d x + ∫ 1   d x - 1 2 ∫ 1 ( x + 1 )   d x + 1 2 ∫ . 1 ( x - 1 )   d x

= x 3 3 - 1 2   l n x + 1 + 1 2   l n x - 1

= x 2 - l n x + l n   x - 1 + c

OBS: adicionamos “c” a constante de integração.

Resposta

∫ x   4 x 2 - 1 d x = x 2 - l n x + l n   x - 1 + c

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