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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 43

Exercício: 44 – Calcule a integral abaixo:

int ((x - 2)^2 t g^(- 1) (2 x) - 12 x^3 - 3 x)/((4 x^2 + 1) (x - 2)^2) d x

Passo 1

Primeiramente vamos separar as frações da integral:

int ((x - 2)^2 t g^(- 1) ( 2 x ))/((4 x^2 + 1) (x - 2)^2) - (12 x^3 - 3 x)/((4 x^2 + 1) (x - 2)^2) d x

Podemos simplificar na primeira expressão e separar as integrais:

int (t g^(- 1) 2 x)/(4 x^2 + 1) d x + int (- 12 x^3 - 3 x)/((4 x^2 + 1) (x - 2)^2) d x

Colocando os termos em evidência:

int (t g^(- 1) 2 x)/(4 x^2 + 1) d x + int (- 3 x ( 4 x^2 + 1 ))/((4 x^2 + 1) (x - 2)^2) d x

Simplificado:

int (t g^(- 1) 2 x)/(4 x^2 + 1) d x + int (- 3 x)/((x - 2)^2) d x = int (t g^(- 1) 2 x)/(4 x^2 + 1) d x - 3 int (x)/((x - 2)^2) d x

Passo 2

Resolvendo a primeira integral:

int (t g^(- 1) 2 x)/(4 x^2 + 1) d x

Usando substituição udu:

u = t g^(- 1) 2 x

d u = (1)/(1 + (2 x)^2) * 2

d x = (1)/((1)/(1 + (2 x)^2) * 2)

Substituindo na integral:

int (u)/(4 x^2 + 1) * (1)/((1)/(1 + (2 x)^2) * 2) d u

int (u)/(4 x^2 + 1) * (1)/((2)/(1 + 4 x^2)) d u = int (u)/(4 x^2 + 1) * ((1 + 4 x^2))/(2) d u = int (u)/(2) d u = (u^2)/(2 * 2) = (u^2)/(4)

Para u = t g^(- 1) x

((t g^(- 1) 2 x)^2)/(4)

Resolvendo o a segunda integral:

- 3 int (x)/((x - 2)^2) d x

Utilizando substituição udu:

u = x - 2 | x = u + 2

d u = 1

d x = (1)/(d u) = (1)/(1) = 1

- 3 int (u + 2)/(u^2) d u = - 3 (int (u)/(u^2) + (2)/(u^2) d u) = - 3 (int (1)/(u) d t + 2 int (1)/(u^2) d u) = - 3 (ln (u) + 2 (int u^(- 2) d u))

Assim:

- 3 (ln (u) + 2 ((u^(- 2 + 1))/(- 2 + 1))) = - 3 (ln u + 2 ((u^(- 1))/(- 1))) = - 3 (ln u - (2)/(u))

Dado u = x - 2

= - 3 (ln (x - 2) - (2)/(x - 2)) = - 3 ln (x - 2) + (6)/(x - 2)

Passo 3

Unindo o resultado das integrais e somando a constante de integração, teremos:

((t g^(- 1) 2 x)^2)/(4) - 3 ln (x - 2) + (6)/(x - 2) + C

Resposta

((t g^(- 1) 2 x)^2)/(4) - 3 ln (x - 2) + (6)/(x - 2) + C

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