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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.5 - Ex. 41

No Exercício ∫ s e n 5 2 x   d x , use fórmulas de redução para calcular as integrais.

Passo 1

O enuciado nos da uma integral de uma função trigonométrica, e para para poder reduzir precisamos usar algumas fórmulas da tabela das integrais.

Passo 2

Vamos usar a fórmula abaixo para reduzir a integral:

∫ s e n n   a x   d x = - s e n n - 1 a x .     c o s   a x n . a   +   n - 1 n ∫ s e n n - 2 a x   d x

Substituindo:

∫ s e n 5   2 x   d x = - s e n 5 - 1 2 x .     c o s   2 x 5.2   +   5 - 1 5 ∫ s e n 5 - 2 2 x   d x

∫ s e n 5   2 x   d x = - s e n 4 2 x .     c o s   2 x 10   +   4 5 ∫ s e n 3 2 x   d x

Aplicamos a fórmula novamente:

∫ s e n 5   2 x   d x = - s e n 4 2 x .     c o s   2 x 10   +   4 5 - s e n 3 - 1 2 x .     c o s   2 x 3.2 +   3 - 1 3 ∫ s e n 3 - 2 2 x   d x

= - s e n 4 2 x .     c o s   2 x 10 +   4 5 - s e n 2 2 x .     c o s   2 x 6 +   2 3 ∫ s e n   2 x   d x

= - s e n 4 2 x .     c o s   2 x 10 - 4 5 .   s e n 2 2 x .     c o s   2 x 6 + 4 5 .   2 3 ∫ s e n   2 x   d x

= - s e n 4 2 x .     c o s   2 x 10 - 2 .   s e n 2 2 x .     c o s   2 x 15 +   8 15 ∫ s e n   2 x   d x

Passo 3

Para continuar desenvolvendo vamos usar outra fórmula que serve pra calculara ∫ s e n   2 x   d x :

∫ s e n   a x   d x = - c o s   a x a

= - s e n 4 2 x .     c o s   2 x 10 - 2 .   s e n 2 2 x .     c o s   2 x 15 +   8 15 - c o s   2 x 2

= - s e n 4 2 x .     c o s   2 x 10 - 2 .   s e n 2 2 x .     c o s   2 x 15 -   4 15 . c o s   2 x + c

Obs: adicionamos “c” que é a constante de integração

Resposta

∫ s e n 5 2 x   d x = - s e n 4 2 x .     c o s   2 x 10 - 2 .   s e n 2 2 x .     c o s   2 x 15 -   4 15 . c o s   2 x + c

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