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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.5 - Ex. 40

No Exercício ∫ x 2 2 x - x 2   d x , utilize uma substituição para transformar a integral em outra que você possa encontrar na tabela. Em seguida, calcule a integral.

Passo 1

Para resolver essa atividade iremos fazer alguma substituição para poder modificar a espressão de forma que quando a gente for procurar na tabela iremos encontrar a fórmula.

Passo 2

Vamos primeiro reorganizar:

∫ x 2 2 x - x 2   d x = ∫ x 2 1 - ( x - 1 ) 2   d x

Agora iremos aplicar o método da substituição:

t = ( x - 1 ) logo x = t + 1

d t   = ( x - 1 ) ' d x  

d t   = d x

∫ x 2 1 - ( x - 1 ) 2   d x = ∫ ( t + 1 ) 2 1 - t 2   d t

= ∫ ( t 2 + 2 t + 1 ) 1 - t 2   d t

= ∫ t 2 1 - t 2   d t + ∫ 2 t 1 - t 2   d t + ∫ 1 - t 2   d t

= ∫ t 2 1 - t 2   d t + 2 ∫ t 1 - t 2   d t + ∫ 1 - t 2   d t

Vamos usar a fórmula abaixo para resolver ∫ t 2 1 - t 2   d t

∫ x 2 a 2 - x 2   d x = a 4 8   s e n - 1   x a   - 1 8 . x a 2 - x 2 . ( a 2 - 2 x 2 )

Substituindo:

∫ t 2 1 - t 2   d t = 1 4 8   s e n - 1   t 1   - 1 8 . t 1 2 - t 2 . ( 1 2 - 2 t 2 )

∫ t 2 1 - t 2   d t = 1 8   s e n - 1   t   - 1 8 . t 1 - t 2 . ( 1 - 2 t 2 )

Para resolver ∫ t 1 - t 2   d t vamos usar o método da substituição:

u =   1 - t 2

d u   = ( 1 - t 2 ) ' d t

d u   = - 2 t   d t

d t   = - 1 2 t d u

∫ t 1 - t 2   d t = ∫ t 1 - t 2   - 1 2 t d u

= - 1 2 ∫ u   d u

= - 1 2 u 1 2 + 1 1 2 + 1

= - 1 2 u 3 2 3 2

= - 1 2 . 2 . u 3

= - u 3 2 3 = - ( 1 - t 2 ) 3 2 3

Para resolver ∫ 1 - t 2   d t usaremos a fórmula serguinte:

∫ a 2 - x 2   d x   = x 2 a 2 - x 2 + a 2 2 s e n - 1 x a

Substituindo:

∫ 1 2 - t 2   d t = t 2 1 2 - t 2 + 1 2 2 s e n - 1 t 1

∫ 1 2 - t 2   d t = t 2 1 - t 2 + 1 2 s e n - 1 t

Passo 3

Agora substituimos os valores na expressão original:

= ∫ t 2 1 - t 2   d t + 2 ∫ t 1 - t 2   d t + ∫ 1 - t 2   d t

= 1 8   s e n - 1   t   - 1 8 . t 1 - t 2 . ( 1 - 2 t 2 ) + 2 - ( 1 - t 2 ) 3 2 3 + t 2 1 - t 2 + 1 2 s e n - 1 t

= 1 8   s e n - 1   t   - 1 8 . t 1 - t 2 . ( 1 - 2 t 2 ) - 2 . ( 1 - t 2 ) 3 2 3 + t 2 1 - t 2 + 1 2 s e n - 1 t

= 5 8   s e n - 1   t - 2 . ( 1 - t 2 ) 3 2 3   - t 1 - t 2 . ( 1 - 2 t 2 ) + 4 1 - t 2 8

substituindo   t = ( x - 1 ) :

= 5 8   s e n - 1 ( x - 1 ) - 2 . ( 1 - ( x - 1 ) 2 ) 3 2 3   - t 1 - ( x - 1 ) 2 . ( 1 - 2 ( x - 1 ) 2 ) + 4 1 - ( x - 1 ) 2 8

= 5 8   s e n - 1 ( x - 1 ) - 2 . ( 2 x - x 2 ) 3 2 3   - t 2 x - x 2 . ( 1 - 2 ( x 2 - 2 x + 1 ) ) + 4 2 x - x 2 8

= 5 8   s e n - 1 ( x - 1 ) - 2 . ( 2 x - x 2 ) 3 2 3   - t 2 x - x 2 . ( - 1 - 2 x 2 + 4 x ) + 4 2 x - x 2 8 + c

Obs: adicionamos “c” que é a constante de integração

Resposta

∫ x 2 2 x - x 2   d x = 5 8   s e n - 1 ( x - 1 ) - 2 . ( 2 x - x 2 ) 3 2 3   - t 2 x - x 2 . ( - 1 - 2 x 2 + 4 x ) + 4 2 x - x 2 8 + c

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