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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.3 - Ex. 6

Nos Exercícios 1-12, esboce a região delimitada pelas retas e curvas dadas. Em seguida, expresse a área da região como uma integral dupla iterada e calcule a integral.

a s   c u r v a s     y = ln ⁡ x e   y = 2 ln ⁡ x e   a   r e t a   x = e ,   n o   p r i m e i r o   q u a d r a n t e .

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Fazendo um esboço das funções, temos:

Analisando a figura, vemos qued 1 ≤ x ≤ e e que sendo y dado em função de x, ln ⁡ x ≤ y ≤ 2   l n ⁡ ( x ) . logo:

∫ 1 e ∫ ln ⁡ x 2 ln ⁡ x d y d x

Passo 2

∫ 0 e 2 ln ⁡ x - ln ⁡ x d x

∫ 0 e ln ⁡ x d x

Passo 3

Façamos u = l n ⁡ ( x )   logo d u = 1 x e v = x logo d v = 1 e

∫ 1 e u d v

Das técnicas de integração, temos que:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Assim:

x ln ⁡ x 1 e - ∫ 1 e d x

x ln ⁡ x - x 1 e  

( e - e - ( 0 - 1 )

1

Resposta

A = 1

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