Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.2 - Ex. 3
Calcule a integral iterada.
Passo 1
Fala, pessoal! Como vocês estão?
A questão nos dá uma integral dupla e pede para encontrarmos seu valor:
Uma integral iterada é uma integral calculada sequencialmente, uma após a outra.
Para resolver integrais duplas a gente começa “de dentro pra fora”. No nosso caso aqui, a integral de dentro é a que está em função de . O resultado dessa integral de passa a ser o integrando da integral de fora, aqui no caso, a que está em função de .
Vamo lá? Vamos entender na prática!
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a função com relação a e considerar como uma constante, já que a integral em relação a é a “de dentro”:
Tirando a constante para fora para facilitar nosso cálculo com os limites de integração:
Aplicando os limites de integração e em :
Ficamos com:
Logo:
Passo 3
Agora a integral que temos que resolver é:
Como temos uma multiplicação de funções com relação a , temos que aplicar algum método para resolver.
Vamos tentar o método da substituição. Consideraremos:
Logo:
Rearranjando os ermos de modo que facilite nossa substituição:
Agora, podemos substituir e . Portanto, podemos dizer que:
Multiplicando os termos constantes:
Agora vamos fazer a integral em função de . Quando conseguirmos o resultado, voltamos para nossa variável de origem . Logo:
Aplicando os limites de integração:
Como e , teremos:
Ou seja:
Então, podemos dizer que, voltando a variável original:
Logo: