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Exercícios de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais - Lista de Exercícios Resolvida

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Questão 1

Calcule ∬ D   x + y d x d y , onde D é o triângulo de vértices (-1,0), (0,1) e (1,0).

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Questão 2

Suponha que uma lâmina com densidade f ocupe a região D do plano x y . Calcule a massa total m sabendo que D é a região triangular de vértices 0,0 , 3,0 , ( 3,5 ) e a densidade δ em cada ponto P = x , y ∈   D é igual à distância de P ao eixo y

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Questão 3

Calcule ∬ D   x y   d A , onde D é a região limitada pela reta y = x - 1 e pela parábola y 2 = 2 x + 6 .

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Questão 4

Determine o esboço da região do plano x y sobre a qual a integral é calculada:

∫ 1 2 ∫ x 2 4 x - x 2 f ( x , y ) d y d x

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Questão 5

Calcule

∬ D   x + 2 y d A

Onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2 x 2 e y = 1 + x 2 .

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Questão 6

Seja R = x , y ∈ R 2   |   x ≥ y 2   ,     x + y ≤ 2     ,     y ≥ 1 2 .

a) Esboce R hachurando a região e ao lado a fronteira de R .

b) Seja a integral dupla

I = ∫ ∫ R F x , y d x d y

Escreva I   na forma iterada, integrando primeiro em relação a x e em seguida em relação a y .

c) Escreva I na forma da soma de duas integrais, integrando primeiro em relação a y e depois a x .

d) Agora, considere a integral dupla

I = ∫ ∫ R F x , y d x d y

em que F x , y = y e x . Calcule I pelo método que preferir.

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Questão 7

O valor da integral

∬ D x 2 - y 2   c o s c o s   1 2 x + y 2   d x   d y

Onde D é o paralelogramo de vértices 0,0 , π 4 , - π 4 , π 2 , 0 e π 4 , π 4 é:

  1. π 2 16 s i n s i n   π 2 8  
  2. π 2 64 s i n s i n   π 2 2  
  3. - π 2 64 1 - s i n s i n   π 2 2  
  4. π 2 32 s i n s i n   π 2 4  
  5. π 2 32 s i n s i n   π 2 2  

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Questão 8

Exercício 1. Calcule

(a) ∫ 1 4 ∫ - 1 2 2 x + 6 x 2 y d y d x

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Questão 9

Exercício 1. Calcule

(b) ∫ 1 2 ∫ - 1 2 12 x y 2 - 8 x 3 d y d x

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Questão 10

Exercício 1. Calcule

(c) ∫ 1 3 ∫ 0 1 1 + 4 x y d x d y

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Questão 11

Exercício 1. Calcule

(d) ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 sin ⁡ x cos ⁡ y d y d x

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Questão 12

Exercício 1. Calcule

(e) ∫ 0 2 ∫ 0 1 2 x + y 8 d x d y

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Questão 13

Exercício 1. Calcule

(f) ∫ 1 4 ∫ 1 2 x y + y x d y d x

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Questão 14

Exercício 1. Calcule

(g) ∫ 0 1 ∫ 0 1 u - v 5 d u d v

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Questão 15

Exercício 1. Calcule

(h) ∫ 0 2 ∫ 0 π r sin 2 ⁡ θ d θ d r

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Questão 16

Considere a região plana S definida por

S = x , y ∈ R 2 - e x ≤ y ≤ e x ,   0 ≤ x ≤ 2

Sejam F x , y uma função contínua definida em S , e I = ∬ S F x , y d x d y .

a) Esboce S e, ao lado, esboce o interior de S (ou seja, o conjunto aberto obtido removendo-se de S a sua fronteira).

b) Escreva a integral dupla I na forma de uma integral iterada, integrando primeiro com respeito a y e depois com respeito a x .

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Questão 17

A massa do conjunto S = { x , y   ∈   R : y - 3 x ≤ 9 ,   x ≤ 0 ,   y ≥ 0     } cuja a densidade superficial é   δ x , y = x 2 +   4 ,   ∀   x , y ∈   R   é:

  1. 945 4
  2. 985 4
  3. 129 2
  4. 44 3
  5. 297 4

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Questão 18

Calcule as seguintes integrais duplas:

d)

∬ x cos ⁡ y d x d y D

Onde D é a região limitada por y = 0 ,   y = x 2 ,   x = 1 .

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Questão 19

Calcule ∫ ∫ S F ⋅ d S onde F ( x , y , z ) = ( 2 , z , - y ) e S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 no primeiro octante, com orientação para fora.

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Questão 20

Se D = { ( x , y ) ∈ ℝ 2 / | x | + | y | ≤ 1 } , mostre que ∫ D ∫ f ( x + y ) d x d y = ∫ - 1 1 f ( u ) d u .

(Sugestão: Faça u = x + y e v = y )

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Questão 21

Use integral dupla para calcular a área da região limitada por:

y = x ,       y = 4 x ,       x y = 36

No primeiro quadrante.

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Questão 22

Encontre a área da região R limitada pela parábola y = x 2 e pela reta y = x + 2 utilizando integral dupla:

  1. 7 2   u . a

  2. 9 2   u . a .

  3. 5 2   u . a .

  4. 1 2   u . a .

  5. 3 2   u . a .

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Questão 23

Considere uma lâmina que ocupa a região planar D que se encontra entre a reta x = y e a parábola x = y 2 . Suponha que a densidade em um ponto qualquer na lâmina seja dada pela função ρ x , y = y cos ⁡ x . Determine a massa total da lâmina.

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Questão 24

Considere uma lâmina que ocupa a região planar D que se encontra entre as curvas x = 0 , y = e x e y = - e x + 4 . Suponha que a densidade em um ponto qualquer na lâmina seja dada pela função ρ x , y = x y . Determine a massa total da lâmina.

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Questão 25

  1. Calcule a integral dupla da função f x , y = x 2 + y 2 sobre a região triangular de vértices - 2,2 ,   2,2   e   ( 0,0 ) .
  2. A integral acima expressa o volume de qual sólido?

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Questão 26

Considere uma lâmina que ocupa a região planar D que se encontra entre as curvas x = 0 , y = e 3 x e y = - e 3 x + 16 . Suponha que a densidade em um ponto qualquer na lâmina seja dada pela função ρ x , y = x y . Determine a massa total da lâmina.

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Questão 27

A massa do conjunto

S = { x , y ∈ R 2 : x + 2 y ≤ 4 ,   x ≥ 0   e y ≥ 0 }

cuja densidade superficial é

δ x , y = x 2 + 1 ,   ∀ x , y ∈ R 2 ,

é igual a

Escolha uma:

a) 28 / 3

b) 44 / 3

c) 32 / 3

d) 12

e) 74 / 3

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Questão 28

Encontre a área da região R limitada pela parábola y = x 2 e pela reta y = x + 2 utilizando integral dupla.

(a) 1 / 2   u . a .

(b) 3 / 2   u . a .

(c) 5 / 2   u . a .

(d) 7 / 2   u . a .

(e) 9 / 2   u . a .

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Questão 29

Seja

R = x , y ∈ R 2 0 ≤ x ≤ y ≤ 1

  1. Seja F x , y uma função contínua definida na região R . Escreva a integral dupla

    2. I = ∬ R F x , y d x d y

    Obrigatoriamente na forma de uma integral iterada, integrando primeiro com respeito a x e em seguida com respeito a y .

  2. Escreva a integral dupla do item a obrigatoriamente como uma integral iterada, integrando primeiro com respeito a y e em seguida com respeito a x .

    3. Obs.: Obviamente, nos itens a e b não é pedido cálculo de integral.

  3. Calcule

I = ∬ R e y 2 d x d y

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Questão 30

1 – Calcular:

∬ R   1 x + y 2 d x d y

Em que R é a região delimitada por 3 ≤ x ≤ 4 , 1 ≤ y ≤ 2 .

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Questão 31

Quarta Questão: Calcule a integral.

∬ D   e x + y d A

onde D é a região triangular com vértices 0 ,   0 , 2 ,   4 , ( 6 ,   0 ) .

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Questão 32

Calcule a integral da função f x ,   y = 2 x 3 + 6 e 2 x + 7 y sobre a região R = x ,   y | - 1 ≤ x ≤ 1 ,     0 ≤ y ≤ 2 .

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Questão 33

Questão 1: Calcule a integral dupla

∬ D   x   d x d y

Onde

D = x ,   y ∈ R 2   : x ≥ 1       e         x 2 + y 2 ≤ 4 .

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Questão 34

Questão 1: Considere as regiões do plano

R 1 = x ,   y ∈ R 2   |   y + 1 - x 2 ≥ 0

R 2 = x ,   y ∈ R 2   |   2 y + x ≤ 1

Seja R = R 1 ∩ R 2 .

d) Considere a integral dupla

I = ∬ R   2 x + 1 2 x + y + 4   d y   d x

Escreva I na forma de uma integral iterada, integrando primeiro com respeito a y e em seguida em relação a x .

Escreva I na forma de uma diferença de integrais simples:

I = ∫ c d h 1 x d x - ∫ c d h 2 x d x

Explicitando c , d , h 1 x e h 2 x .

Obs.: Neste item não é necessário encontrar o valor numérico da I , apenas escrevê-la no formato pedido.

e) Escreva I na forma de uma soma de integrais iteradas, integrando primeiro com respeito a x e em seguida com respeito a y .

Obs.: Neste item não é necessário calcular as integrais.

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Questão 35

Encontre a área da região R limitada pela parábola y = x 2 e pela reta y = x + 2 utilizando integral dupla:

  1. 7 2   u . a

  2. 9 2   u . a .

  3. 5 2   u . a .

  4. 1 2   u . a .

  5. 3 2   u . a .

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Questão 36

Responda os itens a seguir.

(a) Sejam f e g funções integráveis em uma região limitada D do plano. Se f x ,   y ≤ g x , y para todo x , y ∈ D ,   qual a relação entre ∬ D f x , y d A e ∬ D g x , y d A   ?

(Obs: não precisa justificar a relação)

(b) Use a relação do item (a) para mostrar que

3 2 ≤ ∬ D 1 + s e n 4 x 2019 + y 3 d A ≤ 3

onde D é a região delimitada pelas retas y = 1 ,   y = 2 .   y = x   e   y = x 2

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Questão 37

Seja Ω o domínio representado na figura, onde A é a parte da circunferência x - 3 2 + y 2 = 9 , B é a parte da circunferência x - 1 2   + y 2 = 1 , C é a parte da circunferência x - 4 2 + y 2 = 4 . Reescrever a integral dupla

∬ Ω x + y d A

na forma iterada:

1. vendo Ω   como domínio de tipo 1

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Questão 38

Seja Ω o domínio representado na figura, onde A é a parte da circunferência x - 3 2 + y 2 = 9 , B é a parte da circunferência x - 1 2   + y 2 = 1 , C é a parte da circunferência x - 4 2 + y 2 = 4 . Reescrever a integral dupla

∬ Ω x + y d A

na forma iterada:

2. vendo Ω   como domínio de tipo 2

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Questão 39

Calcule a integral dupla

I = ∫ ∫ D 1 x + y 3   d x d y  

Em que D   é a região plana:

D = x , y ∈ R 2 x ≥ 1 ,   y ≥ 1 ,   x + y ≤ 3

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Questão 40

Considere a integral

∬ D   ( x - y ) d x d y

Onde D é a região do primeiro quadrante limitada pelas retas y = - 2 x + 4 , y = - 2 x + 7 , y = x - 2 e y = x + 1 .

Escreva a integral em coordenadas x , y sobre o domínio D colocando os domínios de integração explícitos. (Não precisa resolver a integral).

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Questão 41

  1. Calcule a integral abaixo

∬ R y 2 d x d y

Onde R   é o triangulo do plano cartesiano x y cujos vértices são 0,0 , 0,1 e 1,1 .

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Questão 42

Calcule

∫ ∫ R x 2 y 2 d A

, onde R é a porção limitada do primeiro quadrante que está entre as duas hipérboles x y   =   1   e   x y   =   2   e as duas retas y   =   x   e   y   =   4 x .

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Questão 43

Calcule a integral iterada

∫ 0 2 ∫ x 4 4 x 3 15 16 y 2 + 1 4 d y d x

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Questão 44

  1. Use integral dupla para calcular a área da região limitada por:

x = y 3 ,           x + y = 2 ,           y = 0

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Questão 45

Conclua sobre o valor da integral

∫ ∫ R ( x 2 - y 2 x 2 + y 2 ) d A

Onde R = [ 0,1 ] × [ 0,1 ]

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Questão 46

Esse resultado contradiz o teorema de Fubini/Tonelli?

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Questão 47

11 - Determine a área de região R delimitada pelas curvas y = x 3 , x + y = 2 e y = 0 .

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Questão 48

2 - Esboce a região de integração e calcule as integrais iteradas a seguir

a) ∫ 0 1 ∫ x 2 x 2 x + 4 y d y d x

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Questão 49

2 - Esboce a região de integração e calcule as integrais iteradas a seguir

d) ∫ 0 1 ∫ x 2 x 2 x y d y d x

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Questão 50

5 - Calcule ∫ ∫ R s e n x s e n y d x d y , onde R é o quadrado x , y ∈ R 2 0 ≤ x ≤ π 2 ,   0 ≤ y ≤ π 2 .

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Questão 51

2 - A área de uma superfície determinada pelo gráfico de uma função de duas variáveis z = f x , y definida numa região R ⊂ R 2 é dada pela fórmula

A = ∫ ∫ R 1 + ∇ f x , y 2 d A

Se f é dada implicitamente pela equação F x , y , z = 0 , então

A = ∫ ∫ R ∇ F x , y , z ∂ F x , y , z ∂ z d A

onde z = f x , y e supondo que nesse caso ∂ F x , y , z ∂ z ≠ 0 no interior de R . Determine a área das seguintes superfícies:

c) A parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 z que está dentro do paraboloide z = x 2 + y 2 .

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Questão 52

6 - Calcule ∫ ∫ R x 2 y 2 d x d y , onde R é a região delimitada por y = x , y = 1 x e x = 2 .

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Questão 53

2 - A área de uma superfície determinada pelo gráfico de uma função de duas variáveis z = f x , y definida numa região R ⊂ R 2 é dada pela fórmula

A = ∫ ∫ R 1 + ∇ f x , y 2 d A

Se f é dada implicitamente pela equação F x , y , z = 0 , então

A = ∫ ∫ R ∇ F x , y , z ∂ F x , y , z ∂ z d A

onde z = f x , y e supondo que nesse caso ∂ F x , y , z ∂ z ≠ 0 no interior de R . Determine a área das seguintes superfícies:

a) A parte do plano 3 x + 2 y + z = 6 que está no primeiro octante.

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Questão 54

2 - A área de uma superfície determinada pelo gráfico de uma função de duas variáveis z = f x , y definida numa região R ⊂ R 2 é dada pela fórmula

A = ∫ ∫ R 1 + ∇ f x , y 2 d A

Se f é dada implicitamente pela equação F x , y , z = 0 , então

A = ∫ ∫ R ∇ F x , y , z ∂ F x , y , z ∂ z d A

onde z = f x , y e supondo que nesse caso ∂ F x , y , z ∂ z ≠ 0 no interior de R . Determine a área das seguintes superfícies:

b) A parte da superficie z = x y que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 .

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Questão 55

Calcule a integral ∫ ∫ S 3 x d S , onde S é a região triangular com vértices ( 1,0 , 0 ) , ( 0 , - 2,0 ) e ( 0,0 , 4 ) .

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Questão 56

(Cap 15.1 – Ex 12) Calcule a integral dupla, identificando-a antes com o volume de um sólido.

∬ R   ( 5 - x )   d A   ,                     R = x , y   0 ≤ x ≤ 5   ,   0 ≤ y ≤ 3

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Questão 57

(Cap 15.2 – Ex 21) Calcule a integral dupla.

∬ R y e - x y d A ,   R = 0,2 × [ 0,3 ]

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Questão 58

(Cap 15.2 – Ex 17) Calcule a integral dupla.

∬ R   x y 2 x 2 + 1 d A   ,                     R = x ,   y   0 ≤ x ≤ 1   ,   - 3 ≤ y ≤ 3 }  

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Questão 59

(Cap 15.3 – Ex 25) Determine o volume do sólido dado.

Abaixo da superfície z = x y e acima do triângulo com vértices ( 1,1 ) , ( 4,1 ) e ( 1,2 )

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Questão 60

(Cap 15.1 – Ex 11) Calcule a integral dupla, identificando-a antes com o volume de um sólido.

∬ R   3   d A   ,                     R = x , y   - 2 ≤ x ≤ 2   ,   1 ≤ y ≤ 6

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Questão 61

(Cap 15.3 – Ex 31) Determine o volume do sólido dado.

Limitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 e pelos planos y = z , x = 0 , z = 0 no primeiro octante.

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Questão 62

(Cap 15.3 – Ex 13) Expresse D como a região do tipo I e também como uma região do tipo II. Em seguida, calcule a integral dupla de duas maneiras.

∬ D x d A

D é limitada pelas retas y = x , y = 0 , x = 1 .

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Questão 63

(Cap 15.3 – Ex 14) Expresse D como a região do tipo I e também como uma região do tipo II. Em seguida, calcule a integral dupla de duas maneiras.

∬ D x y d A

D é limitada pelas retas y = x 2 , y = 3 x

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Questão 64

(Cap 15.3 – Ex 21) Calcule a integral dupla.

∬ D 2 x - y d A

D é limitada pelo círculo de centro na origem e raio 2

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Questão 65

(Cap 15.3 – Ex 22) Calcule a integral dupla.

∬ D 2 x y   d A

D é a região triangular com vértices 0,0 ,   ( 1,2 ) e ( 0,3 ) .

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Questão 66

(Cap 15.3 – Ex 11b) Desenhe um exemplo de uma região que seja

  1. Do tipo I, mas não do tipo II
  2. Do tipo II, mas não do tipo I

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Questão 67

Exercício 1. Calcule

(i) ∫ 0 π 6 ∫ 0 π 3 x sin ⁡ x + y d x d y

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Questão 68

Exercício 1. Calcule

(j) ∫ 0 3 ∫ 0 1 6 x 2 y 3 - 5 y 4 d y d x

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Questão 69

Calcule a integral dupla

∫ ∫ s i n ( x - y ) d A

Sendo Q = 0 ,   π / 2 × 0 ,   π / 2 .

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Questão 70

Desenhe a região de integração no plano x y e calcule a integral iterada

∫ 0   4 ∫ 0   y 9 + y 2 d A

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Questão 71

Calcule as integrais a seguir

∫ ∫ Ω 3 x y - s i n ( x + y ) d A ;   Ω   =   [ - π , π ] × [ 0 , π / 2 ]

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Questão 72

Calcule as seguintes integrais duplas:

a)

Onde R = x , y : 1 ≤ x ≤ 2 ,     0 ≤ y ≤ 3

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Questão 73

Calcule as seguintes integrais duplas:

c)

Onde R = 1,2 × 0,1

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Questão 74

Calcule as seguintes integrais duplas:

a)

Onde D = x , y : 0 ≤ x ≤ 1 ,     x 2 ≤ y ≤ x

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Questão 75

Calcule as seguintes integrais duplas:

b)

Onde R = x , y : 1 ≤ x ≤ 4 ,     0 ≤ y ≤ π 6

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Questão 76

Calcule as seguintes integrais duplas:

b)

Onde D = x , y : 0 ≤ x ≤ 1 ,     x ≤ y ≤ 2 - x

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Questão 77

Calcule as seguintes integrais duplas:

c)

Onde D = x , y : 1 ≤ y ≤ 2 ,   y ≤ x ≤ y 3    

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Questão 78

  1. Calcule a integral abaixo

∬ R y 2 x 4 d A

Onde R   é o triangulo do plano cartesiano x y cujos vértices são 0,0 , 1,0 e 1,1 .

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Questão 79

(Cap 15.2 – Ex 19) Calcule a integral dupla.

∬ R   x   s e n ( x + y )   d A   ,                     R = 0 , π 6 × 0 , π 3  

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Questão 80

(Cap 15.3 – Ex 20) Calcule a integral dupla.

∬ D x y 2 d A

D é limitada por x = 0 e x = 1 - y 2 .

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Questão 81

Seja f uma função contínua em R 2 , tal que f x , y > 0 ,   para todo ( x , y ) pertencente a R 2 . Considere as seguintes afirmações:

1 )   ∫ 1 3 ∫ - 2 2 f x , y d y   d x   =   ∫ - 2 2 ∫ 1 3 f x , y d y   d x

2 )   ∬ R f x , y d x   d y > 0 ,       p a r a   t o d o   r e t â n g u l o   R .

3 )   S e   D ,   c o n t i d o   n o   R 2 ,   é   a   r e g i ã o   l i m i t a d a   p o r   y = 0 ,   y = x 3 - 5 x 2 + 6 x ,  

x = 0   e   x = 3   e n t ã o  

∬ D f x , y d x d y = ∫ 0 3 ∫ 0 x 3 - 5 x 2 + 6 x f ( x , y )   d y   d x

A(s) afirmação(ões) verdadeira(s) para toda função f como acima é(são):

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Questão 82

12 - Calcule ∫ ∫ R e y - x y + x d x d y , onde R é a região triangular limitada pela reta x + y = 2 e os eixos coordenados.

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Questão 83

Utilize que

d 2 d x d y a r c t a n ( x / y ) = d d x ( - x x 2 + y 2 ) = d d y ( y x 2 + y 2 ) = ( x 2 - y 2 x 2 + y 2 )

Para calcular

∫ 0 1 ∫ 0 1 ( x 2 - y 2 x 2 + y 2 ) d x d y

e

∫ 0 1 ∫ 0 1 ( x 2 - y 2 x 2 + y 2 ) d y d x

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Questão 84

Se D é um triângulo de vértices (0,0), (2,0) e (0,2) então o valor da integral ∬ D y   d x d y é:

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Questão 85

Exercício 1. Calcule

(k) ∫ 0 1 ∫ - 3 3 x y 2 x 2 + 1 d y d x

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Questão 86

Exercício 1. Calcule

(l) ∫ 0 1 ∫ 0 2 x y e x 2 y d x d y

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Questão 87

Exercício 1. Calcule

(m) ∫ 1 e ∫ 1 e ln ⁡ y x y d y d x

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Questão 88

Exercício 1. Calcule

(n) ∫ 0 1 ∫ 0 2 y e x - y d y d x

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Questão 89

Exercício 1. Calcule

(o) ∫ 0 1 ∫ 0 1 x y x 2 + y 2 d x d y

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Questão 90

Exercício 1. Calcule

(p) ∫ 0 1 ∫ 0 1 x + y d y d x

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Questão 91

Exercício 1. Calcule

(q) ∫ 0 π 3 ∫ 0 1 2 tan ⁡ x 1 + y 2 d y d x

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Questão 92

Exercício 1. Calcule

(r) ∫ 0 1 ∫ 0 1 x 1 + x y d x d y

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Questão 93

Calcule:

a)

∫ ∫ x sin ⁡ y - y e x d x   d y R

Onde R = - 1,1 × 0 , π 2 .

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Questão 94

Calcule:

b)

∫ ∫ x x 2 + y 2 d x   d y R

Onde R = 1,2 × 0,1 .

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Questão 95

Determine:

a)

∫ ∫ y d A D

Onde D é a região entre os gráficos das funções y = x e y = x 2 , com 0 ≤ x ≤ 2 .

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Questão 96

Calcule as integrais para as regiões D indicadas:

a)

∫ ∫ x cos ⁡ y d A D

D limitada por y = 0 , y = x 2 e x = 1 .

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Questão 97

Calcule as integrais para as regiões D indicadas:

b)

∫ ∫ x + y d A D

D limitada por y = x , y = x 2 .

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Questão 98

Calcule ∫ ∫ R y d x d y onde R é a região delimitada por y   =   x ,   y   =   2 x   e   y   =   4 - x ² . Desenhe a região R de integração.

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Questão 99

1 – Considere a integral abaixo

∫ 0 4 ∫ x 2 x 1 + y 5 d y d x

a) esboce a região descrita nos limites de integração.

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Questão 100

Determine:

b)

∫ ∫ x + y d A D

Onde D é a região entre os gráficos das funções y = x e y = e x , com 0 ≤ x ≤ 1 .

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Questão 101

Calcule as seguintes integrais iteradas

d ) ∫ 1 ln ⁡ 5 ∫ 0 ln ⁡ 3 e x + y   d x   d y  

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Questão 102

Calcule as seguintes integrais iteradas

c ) ∫ 1 4 ∫ 0 4 u v   d u d v  

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Questão 103

Calcule as seguintes integrais iteradas

b ) ∫ 1 3 ∫ 0 π / 2 x s e n ( y ) d y d x

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Questão 104

Calcule as seguintes integrais iteradas

e ) ∫ 1 2 ∫ 0 4 d y   d x x + y  

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Questão 105

Calcule as seguintes integrais iteradas

f ) ∫ 0 4 ∫ 0 5 d y d x x + y  

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Questão 106

Calcule as seguintes integrais iteradas

a ) ∫ 1 3 ∫ 0 2 x 2 y d x d y

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Questão 107

Calcule

∬ B x cos ⁡ ( y )   d x d y

Onde B = x , y ∈ R 2 x ≥ 0 ,   x 2 ≤ y ≤ π }

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Questão 108

Determine o volume do sólido limitado pelos planos coordenados e pelo plano 3 x + 2 y + z = 6 .

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Questão 109

2 - Esboce a região de integração e calcule as integrais iteradas a seguir

c) ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 x d x d y

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Questão 110

2 - Esboce a região de integração e calcule as integrais iteradas a seguir

b) ∫ 1 e ∫ 0 ln ⁡ x 1 e - e y d y d x

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Questão 111

Considere uma lâmina que ocupa a região planar D que se encontra entre as curvas x = 0 , y = e 2 x e y = - e 2 x + 8 . Suponha que a densidade em um ponto qualquer na lâmina seja dada pela função ρ x , y = x y . Determine a massa total da lâmina.

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Questão 112

A integral ∫ 0 3 ∫ - x 2 x - x 2 d y d x fornece a área de uma região no plano x y . Esboce a região, identifique cada curva limite com sua equação, escreva as coordenadas dos pontos onde há intersecção das curvas. Depois encontre a área da região.

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Questão 113

∫ ∫ D x   c o s   y   d x d y , onde D é a região limitada por y   =   0 ,   y   =   x 2 ,   x   =   1 .

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Questão 114

∫ ∫ D ( x 2 t g   x   +   y 3   +   4 ) d x d y , onde D é x 2 + y 2 ≤ 2

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Questão 115

Escreva duas integrais iteradas correspondentes à integral dupla ∬ D f ( x ,   y ) d x d y , onde D é a região do plano limitada pelas curvas y = - x 2 + x + 2 e x - 2 y + 1 = 0 .

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Questão 116

∫ ∫ D 4 y 3   d x d y , onde D é a região limitada por y   =   x - 6 ,   y 2 =   x ,

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Questão 117

∫ ∫ D x y   d x d y , onde D é a região do primeiro quadrante limitada pela circunferência de centro ( 0 ,   0 )

e raio 1 .

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Questão 118

∫ ∫ D e y - x d x d y , onde D é y   −   x   =   1 ;   y   −   x   =   2 ;   y   =   2 x   e   y   =   3 x .

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Questão 119

4 - Calcule ∫ ∫ R 8 - x - y d x d y , onde R é a região delimitada por y = x 2 e y = 4 .

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Questão 120

Sendo D a região plana delimitada pelas curvas dadas pela equação y = 0 x = π 4 e y = x , calcule

∬ D x cos ⁡ y x   d A

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Questão 121

Calcule as integrais:

a) ∫ ∫ R x d x d y , onde R é o disco de centro na origem e raio 5 .

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Questão 122

Considere a região plana S definida por

S = x , y ∈ R 2 - e x ≤ y ≤ e x ,   0 ≤ x ≤ 2

d) Calcule a área da região plana:

S ~ = x , y ∈ R 2 0 ≤ y ≤ e x , 0 ≤ x ≤ 2 ,   x - 1 2 + y 2 ≥ 1

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Questão 123

Determine o volume do sólido limitado pelos planos coordenados e pelo plano 3 x + 2 y + z = 6 .

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Questão 124

Determine o valor da integral dupla

∬ R x 3 + y 5 e x 2 + y 2 d A

Para o qual R ⊆ R 2 é o interior de um quadrado cujos vértices estão sobre os eixos coordenados

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Questão 125

Use integral dupla para calcular a área da região limitada por:

y 2 = - x ,           x - y = 4 ,             y = - 1               e               y = 2

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Questão 126

Calcule o fluxo de F ( x , y , z ) = ( 3 x y 2 , x e x , z 3 ) sobre a superfície fronteira do sólido delimitado pelo cilindro y 2 + z 2 = 4 e os planos x = 1 e x = 3 .

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Questão 127

Esboce a região D como uma região do tipo I e do tipo I I . Escreva as integrais possíveis e use uma delas para resolver

∬ D   x d A

Onde D é limitada pelas retas y = x , y = 0 e x = 1

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Questão 128

Calcule a massa da região R limitada por:

  1. z x 2 + y 2 = 2 , z = 0 ,   x 2 + y 2 = 1 ,   x 2 + y 2 = 2 , com x ≥ 0 e y ≤ 0 e δ x , y , z = 1

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Questão 129

Calcule a integral

∫ 0 1 ∫ y 1 s i n ( x 3 ) d x d y

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Questão 130

Calcular ∫ ∫ R ( x - 2 ) ² + ( y - 2 ) ² d x d y onde R é a região delimitada pela circunferência ( x - 2 ) ² + ( y - 2 ) ² = 4 .

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Questão 131

Considere as regiões planas

R 1 = x , y ∈ R 2 x 2 + y 2 ≤ 2

R 2 = x , y ∈ R 2 x ≥ 0 ,   y ≥ 0

R 3 = x , y ∈ R 2 x ≥ y 2

Seja

R = R 1 ∩ R 2 ∩ R 3

  1. Esboce a região R 1 e identifique sua fronteira como uma curva clássica (ou seja, forneça seu nome e sua equação)
  2. Esboce o interior da região R 2 e determine-o através de desigualdades.
  3. Esboce a região R 3 e identifique sua fronteira como uma curva clássica (ou seja, forneça seu nome e sua equação)
  4. Esboce a região R e, em seguida, descreva-a no seguinte formato:

R = x , y ∈ R 2 a ≤ y ≤ b ,   f y ≤ x ≤ g y

Explicitando as constantes reais a e b e as funções f e g .

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Questão 132

Calcule as integrais a seguir

d ) ∬ R e x + y d A ,   o n d e   R = { x , y ∈ R 2 ; x + y ≤ 1 }  

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Questão 133

Calcule a massa da região R limitada por:

z 2 = x 2 + y 2 ,   x 2 + y 2 - 2 y = 0 ,   x ≥ 0 com δ x , y , z = 1 .

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Questão 134

Calcule a massa da região R limitada por:

c) x 2 + y 2 = 1 + z 2 , x 2 + y 2 = 4 com δ x , y , z = z

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Questão 135

Calcule a massa da região R limitada por:

d) x 2 + y 2 = 1 + z 2 , x 2 + y 2 = z 2 para z ≤ a com δ x , y , z = | z | .

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Questão 136

Calcule a massa da região R limitada por:

e) x 2 4 + y 2 9 = 1 + z 2 , x 2 4 + y 2 9 = 2 z 2 com δ x , y , z = 1 ;

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Questão 137

Nos exercícios 01 a 08, calcule D f x , y d x d y , onde D é a região descrita em cada caso

06. f x , y = x y , D a região retangular definida pelas desigualdades 1 ≤ x ≤ 2 , - 2 ≤ y ≤ 2

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Questão 138

Nos exercícios 01 a 08, calcule D f x , y d x d y , onde D é a região descrita em cada caso

07. f ( x , y ) = e x y , D limitada pela parábola y 2 = x e pelas retas x = 0 e y = 1 .

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Questão 139

Nos exercícios 01 a 08, calcule D f x , y d x d y , onde D é a região descrita em cada caso

1) f x , y = x + 2 y , D a região determinada pelas curvas y = 2 x e y = x 2 .

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Questão 140

Nos exercícios 01 a 08, calcule D f x , y d x d y , onde D é a região descrita em cada caso

2 - f x , y = x , D a região do primeiro quadrante dada por x , y ∈ R 2 x 2 + y 2 ≤ 4 ,     0 ≤ x ≤ y

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Questão 141

Nos exercícios 01 a 08, calcule D f x , y d x d y , onde D é a região descrita em cada caso

03. f x , y = 3 x 2 y , D a região do primeiro quadrante definida por 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 .

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Questão 142

Calcule a massa da região R limitada por:

x 2 + y 2 = 1 + z 2 , x 2 + y 2 = 2 + 2 z 2 , para z ≤ a com δ x , y , z = z 2 .

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Questão 143

04. f x , y = x , D a região do primeiro quadrante, limitada pela reta x + y = 2 e pelo arco da circunferência de raio 1 , com centro no ponto 0,1 .

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Questão 144

Nos exercícios 01 a 08, calcule D f x , y d x d y , onde D é a região descrita em cada caso

05. f x , y = x y , D o triângulo com vértices nos pontos 0,0 , 1 , - 1 e 1,1 .

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Questão 145

Nos exercícios 01 a 08, calcule D f x , y d x d y , onde D é a região descrita em cada caso

08. f x , y = y 3 · x 2 , D a região definida por y ∈ 0,1 , x ∈ - 1,0 .

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Questão 146

Nos exercícios 09 a 12, escreva as integrais dadas com a ordem de integração invertida

9. ∫ 0 4 ∫ 3 x 2 12 x f x , y d y d x

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Questão 147

Se D é a região limitada pelas curvas x = y 2 - 4 y - 1 e y - x - 5 = 0 e se

∫ ∫ D f , y d x d y = ∫ a b ∫ c d f x , y d x d y

Então podemos afirmar que

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Questão 148

Calcule a área e faça um esboço do gráfico da região representada pela integral:

∫ 0 1 ∫ 1 - x 1 - x 2 d y   d x

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Questão 149

Calcule as integrais a seguir

a ) ∬ R y 2 d A ,   o n d e   R   é   a   r e g i ã o   d e l i m i t a d a   p o r   y = 0 ,   y = 2 x + 4 ,   y = x 3

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Questão 150

Calcule as integrais a seguir

b ) ∬ R x + y d A ,   o n d e   R   é   o   p a r a l e l o g r a m o   d e   v é r t i c e s   0,0 ,   1,1 , 3,1 ,   ( 2,0 )

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Questão 151

Esboce a região de integração e calcule a integral trocando a ordem de integração.

a) ∫ 0 1 ∫ 0 1 e x 2 d x d y

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Questão 152

Esboce a região de integração e calcule a integral trocando a ordem de integração.

b) ∫ 0 1 / 2 ∫ y 2 1 / 4 y cos ⁡ ( 16 π x 2 ) d x d y

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Questão 153

Calcule as integrais para as regiões D indicadas:

c)

∫ ∫ y 3 d A D

D é a região triangular com vértices 0,2 ,   1,1 e 3,2 .

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Questão 154

Calcule as integrais para as regiões D indicadas:

d)

∫ ∫ x y 2 d A D

D é limitada por x = 0 e x = 1 - y 2 .

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Questão 155

Calcule as seguintes integrais duplas:

∬ x y d x d y D

Onde D = x , y : 0 ≤ x ≤ 1 ,   x 2 ≤ y ≤ x .

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Questão 156

Calcule as seguintes integrais duplas:

b)

∬ x 2 - 2 x y d x d y D

Onde D = x , y : 0 ≤ x ≤ 1 ,   x ≤ y ≤ 2 - x .

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Questão 157

Calcule as seguintes integrais duplas:

c)

∬ e x y d x d y D

Onde D = x , y : 1 ≤ y ≤ 2 ,   y ≤ x ≤ y 3 .

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Questão 158

Calcule as seguintes integrais duplas:

g)

∬ x 2 tan ⁡ x + y 3 + 4 d x d y D

Onde D = x , y : x 2 + y 2 ≤ 2 .

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Listas de Exercícios Resolvidos

Lista de Caso AvançadoLista de Wronskiano - Dependência e Independência LinearLista de Caso Vetorial no R³Lista de Polinômio de Taylor para f(x,y)Lista de Erro do Polinômio de Taylor para f(x)Lista de Caso Escalar R²Lista de Área de Superfícies de RevoluçãoLista de Limites Laterais e Existência do LimiteLista de Curvas de NívelLista de Área entre Curvas

Principais Conceitos de Cálculo

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