Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.2 - Ex. 17
Calcule a integral dupla.
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.
A questão pede para calcularmos a integral dupla:
Onde é limitada por:
Temos que começar nossa questão usando a região para conseguirmos nossos limites de integração para e .
Depois, podemos resolver a integral dupla em relação a e a , usando a ordem que tornar a integral mais fácil. Daí é só resolvermos a integral dupla como uma integral iterada.
Uma integral iterada é uma integral calculada sequencialmente, uma após a outra. Para resolver integrais duplas a gente começa “de dentro pra fora”.
Bora resolver?
Passo 2
Vamos considerar a integral dupla:
O primeiro passo é entendermos qual a região , para conseguirmos nossos limites de integração.
Traçando as 3 curvas dadas no enunciado:
Escrevendo a região como uma região do Tipo I:
Passo 3
Agora, podemos tirar de:
Nossos limites de integração. Assim, a integral dupla pode ser escrita como:
Aqui, como o limite de integração de tem um termo que depende de , podemos colocar a integral de “por dentro”, assim simplifica nossos cálculos.
Vamos resolver a integral de dentro:
Logo:
Passo 4
Finalmente, podemos resolver a integral “de fora”.
Para resolver esta integral, temos que aplicar o método de substituição. Vamos considerar:
Logo:
Vamos checar os limites:
Portanto:
Portanto: