Nos Exercícios 1-14, determine o centro de massa de uma placa fina de densidade constante delta que abranja a região dada.

  1. A região no primeiro e quarto quadrantes, delimitadas pelas curvas y = 1 / (1 + x^2) e y = -1 / (1 + x^2) e pelas retas x = 0 e x = 1 .

Passo 1

Para x = 0 a função positiva tem o valor de 1 enquanto a negativa tem o valor de -1

Para x = 1 a função positiva tem o valor de 1 / 2 enquanto a negativa tem o valor de - 1 / 2 .

Os dois gráficos vão se aproximando para o valor zero no infinito tendo o seguinte gráfico para essa região.

Passo 2

Fazendo o comprimento da linha vertical temos:

L = 1 1 + x 2 - - 1 1 + x 2 = 2 1 + x 2

A largura da linha é d x logo sua área é de:

d A = 2 1 + x 2 d x

E sua massa:

d m = δ 2 1 + x 2 d x

O x médio será de:

x m = x

E o y médio:

y m = 1 1 + x 2 + - 1 1 + x 2 2 = 0

Logo por ym ser zero:

y - = 0

Passo 3

Calculando M temos:

M = ∫ 0 1 δ 2 1 + x 2 d x

Nos capítulos de trigonometria inversa vimos que:

d d x ( tan - 1 ⁡ x ) = 1 x 2 + 1

Substituindo temos:

M = 2 δ [ arctan - 1 ⁡ 1 - arctan - 1 ⁡ 0 ]  

Calculando M y temos:

M y = 2 δ ∫ 0 1 x x 2 + 1 d x

Para fazer essa integral vamos substituir:

u = x 2 + 1

d u = 2 x   d x

d u 2 = x   d x

O que nos dá:

M y = 2 δ 2 ∫ 1 2 1 u   d u

M y = δ [ ln ⁡ u ] 1 2

M y = δ ln ⁡ 2    

Passo 4

Fazendo x - .

x - = M y M = δ [ ln ⁡ 2 ] 2 δ arctan - 1 ⁡ 1 = ln ⁡ 2 2 arctan - 1 ⁡ 1 = ln ⁡ 2 2 π 4 = ln ⁡ 2 π 2 = 2 ln ⁡ 2 π = ln ⁡ 4 π

Resposta

Centro de massa:

x - , y - = ln ⁡ 4 π , 0

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