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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.1 - Ex. 18

Nos Exercícios 15-18, determine o volume do sólido obtido com a rotação da região sombreada em torno do eixo dado.

18-

Em torno do eixo x

Passo 1

Como nos foi mandado rotacionar em torno do eixo x vamos isolar y da equação pois ele será nosso raio, o que já foi dado.

y = s e n   x cos ⁡ x

Porém sempre é bom dar uma simplificada nos nosso problemas e pela relação trigonométrica

s e n a + b = s e n   a cos ⁡ b + s e n   b cos ⁡ a

Temos que :

s e n 2 x = 2 s e n   x cos ⁡ x

O que é:

y = s e n   x cos ⁡ x = s e n 2 x 2

Passo 2

Como em x o gráfico foi limitado de 0 a π 2 temos nossa integral.

V = ∫ 0 π 2 π s e n 2 x 2 2

Tirando a constante da integral e abrindo nosso raio temos:

V = π ∫ 0 π 2 s e n 2 2 x 4

V = π 4   ∫ 0 π 2 s e n 2 2 x d x

Nesse momento precisamos fazer a integral de s e n 2 ( 2 x ) para isso precisamos de outra identidade trigonométrica.

cos 2 ⁡ x + s e n 2 x = 1

cos 2 ⁡ x - s e n 2 x = cos ⁡ 2 x

Multiplicando o segundo por -1

s e n 2 x - cos 2 ⁡ x = - cos ⁡ 2 x

Somando essa ultima com a primeira temos:

2 s e n 2 x = 1 - cos ⁡ 2 x

s e n 2 x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

V = π 8 ∫ 0 π 2 ( 1 - cos ⁡ 4 x )     d x

Substituindo u = 4 x → d u = 4 d x → d u 4 = d x

π 32 ∫ ( 1 - cos ⁡ u )     d u

π 32 u - sin ⁡ u

V = π 32 4 x - sin ⁡ 4 x 0 π 2

Passo 3

Substituindo os parâmetros:

V = π 32 4 × π 2 - sin ⁡ 2 π - π 32 [ 0 ]

O que nos dá:

V = π 32 2 π = π 2 16

Resposta

V = π 2 16

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