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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 52

No Exercício y = int_(t g x)^0 (1)/(1 + t^2) d t , determine (d y)/(d x) .

Passo 1

Para determinar o valor de (d y)/(d x) vamos ter que derivar os dois lados da equação no enuciado, e se a gente observar um dos lados é uma integral. Nesse caso vai ser possível derivar diretamente a integral por meio do Teorema fundamental do Cálculo que tem a seguinte formula: (d)/(d x) int_a^b f ( x ) d x = f (b) . ( b ) '

Passo 2

Primeiro vamos reorguanizar a equação:

y = int_(t g x)^0 (1)/(1 + t^2) d t

y = - int_0^(t g x) (1)/(1 + t^2) d t

Com os dados acima já temos informação suficiente para começar os cálculos derivando dos dois lados:

(d y)/(d x) = (d)/(d x) (- int_0^(t g x) (1)/(1 + t^2) d t)

(d y)/(d x) = - (d)/(d x) int_0^(t g x) (1)/(1 + t^2) d t

Após colocar a derivada dos dois lados basta aplicar o Teorema fundamental do Cálculo:

(d y)/(d x) = - (d)/(d x) int_0^(t g x) (1)/(1 + t^2) d t

= - (1)/(1 + ( t g x )^2) . ( t g x ) '

= - (1)/(1 + ( t g x )^2) . s e c^2 x

Vamos usar a identidade trigonométrica, sec^2 x = 1 + t g^2 x , e agora substituimos:

= - (1)/(1 + ( t g x )^2) . s e c^2 x

= - (1)/(sec^2 x) . s e c^2 x

= - 1

Resposta

(d y)/(d x) = - 1

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