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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.3 - Ex. 22

Determine a derivada das funções abaixo:

22 - (2 x - 7)^(- 1) * (x + 5)

Passo 1

Primeiramente devemos saber que pela regra de potenciação:

(2 x - 7)^(- 1) = (1)/((2 x - 7)^(+ 1)) = (1)/(( 2 x - 7 ))

Desta forma como (x + 5) está multiplicando, consideramos a função da seguinte forma:

(1)/(( 2 x - 7 )) * (x + 5) = (x + 5)/(2 x - 7)

Agora vamos derivar, utilizando o método da derivada de divisão de frações:

((f)/(g))^' = (f^' xx g - f xx g^')/(g^2)

Derivando teremos:

f (x) = x + 5 e f^' (x) = 1

Observe que a derivada de x + 5 é igual a 1, pois você deve multiplicar pelo expoente da incógnita e subtrair 1 no expoente anterior, também lembrar que 5 é uma constate e a derivada de uma constante é 0. Observe:

f^' (x) = 1 x^(1 - 1) + 0 => x^0 => 1

Regra Matemática Básica: n^0 = 1 AA n != 0

Agora vamos derivar a segunda função:

g (x) = 2 x - 7 e g^' (x) = 2 * 1 x^(1 - 1) - 0 => 2 x^0 => 2

Pronto agora é só substituir na fórmula acima!

Passo 2

Substituindo teremos:

((f)/(g))^' = (f^' xx g - f xx g^')/(g^2) = (1 xx (2 x - 7) - (x + 5) xx 2)/((2 x - 7)^2)

Resolvendo:

(2 x - 7 - 2 x - 10)/((2 x - 7)^2) = (- 17)/((2 x - 7)^2)

Resposta

- (17)/((2 x - 7)^2)

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