determine y' (a) pela aplicação da regra do produto e (b) pela multiplicação dos fatores para produzir uma soma de termos mais simples para derivar.

y = (1 + x^2) * (x^(3/4) - x^(-3))

Passo 1

Bem, esse exercício quer mostrar que não importa o caminho que vamos, se fizermos direitinho chegamos no lugar certo. Primeiro pela regra do produto. Lembra dela? Se não lembra, tranquilo. Vou botar ela aqui em baixo

f x = a x   .   b x

f ' x = a ' . b + a .   b '

Show! Já temos tudo o que precisamos. Vamos cair dentro do cálculo.

(a)

y ' = 1 + x 2 ' x 3 / 4 - x - 3 + 1 + x 2 x 3 / 4 - x - 3 '

y ' = 0 + 2 x x 3 / 4 - x - 3 + 1 + x 2 3 4 x - 1 4 - - 3 x - 4

y ' = 2 x 7 4 - 2 x - 2 + 3 4 x - 1 4 + 3 x - 4 + 3 4 x 7 4 + 3 x - 2

y ' = 3 4 x - 1 4 + 3 x - 4 + 11 4 x 7 4 + x - 2

Ficou uma conta grandinha, mas é isso ai mesmo. Vamos agora ver pelo outro método.  

Passo 2

(b)

y   =   ( 1 + x 2 ) ( x 3 / 4 - x - 3 )

Aplicando a distributiva agora

y = x 3 / 4 - x - 3 + x 11 / 4 - x - 1

Prontinho, já temos tudo para derivar

y ' = 3 4 x - 1 4 - - 3 x - 4 + 11 4 x 7 4 - - 1 x - 2

y ' = 3 4 x - 1 4 + 3 x - 4 + 11 4 x 7 4 + x - 2

Prontinho, de ambos os jeitos chegamos no nosso resultado. Isso quer dizer que você tem mais uma carta na manga na hora da prova. Acabamos por aqui, te encontro na próxima resolução. : D

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Nos exercícios de 3 a 16, ache a derivada da função dada.8. f(x) = 4x² cos(x) ²
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Nos exercícios de 17 a 30, calcule a derivada indicada.25 * (d/dy) ( (1 + sen(y)) / (1 - sen(y)) )
Nos exercícios de 3 a 16, ache a derivada da função dada. 10 g(y) = 3 sen(y) - y cos(y) )
Nos exercícios de 17 a 30, calcule a derivada indicada.2 . (d / dx) (x + 4) / cos(x)