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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 3

Nos exercícios de 1 a 12, ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se houver algum, e ache os valores de x nos quais os extremos absolutos ocorrem. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo.

Passo 1

Seja f x = 5 2 x 6 - 3 x 5 = x 5 ( 5 2 x - 3 ) . Logo x = 0   e   x = 6 5 são raízes.

Passo 2

Vamos calcular f ' ( x ) :

f ' x = 5 2 . 6 x 5 - 3.5 x 4 → f ' x = 15 x 5 - 15 x 4 = x 4 ( x - 1 )

Como x 4 ≥ 0 , temos que o sinal de f ' ( x ) depende apenas do sinal de x - 1 . Logo:

Se x > 1 ,     f ' x   é   p o s i t i v o x < 1 ,   f ' x   é   n e g a t i v o

Além disso, f ' x = 0   para x = 1 e x = 0.

Passo 3

Calculando f ' ' x ,   teremos:

f ' ' x = 15.5 x 4 - 15.4 x 3 = 75 x 4 - 60 x 3 = 15 x 3 ( 5 x - 4 )

Daí, tiramos que:

f ' ' 0 = 0 → p o n t o   d e   i n f l e x ã o

f ' ' 1 = 15 → p o n t o   d e   m í n i m o   r e l a t i v o

Passo 4

As raízes de f ' ' x são 0 e 4 5 . Com isso, temos que:

- Se x < 0 ,   f ' ' x > 0 ;

- Se 0 < x < 4 5 ,   f ' ' x < 0 ;

- Se x > 5 4 ,   f ' ' x > 0 ;

Passo 5

Passo 6

Passo 7

Vejamos que, verificando os extremos do domínio da função, f - 1 = 11 2 e   f 2 = 64 . Assim, 2 é um máximo absoluto. E além disso, f 1 = - 1 2 , ou seja, - 1 2 é um valor de mínimo absoluto.

Resposta

Gráfico:

E os valores de máximo e mínimo absoluto são, respectivamente, 64   q u a n d o   x = 2   e - 1 2   q u a n d o   x = 1 .

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Encontre os valores máximo e mínimo absolutos, se houver, nos intervalos dados e indique onde esses valores ocorrem.22. f x = 3 - 4 x - 2 x 2 ; ( - ∞ , + ∞ )
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f nos intervalos fechados dados e indique onde ocorrem esses valores7. f x = 4 x 2 - 12 x + 10 ; [ 1,2 ]
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta19. Se uma função f tiver um valor mínimo absoluto em ( a , b ) então f sera um ponto critico em ( a , b )
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta18. Se uma função f for contínua em ( a , b ) então f terá um mínimo absoluto em ( a , b )
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta17. Se uma função f for contínua em [ a , b ] então f terá um máximo absoluto em [ a , b ]