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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 7.5 - Ex. 12

Determinar a equação reduzida referida ao sistema X O ' Y e o gênero da cônica representada pela equação dada a seguir. Esboçar o gráfico.

x 2 + y 2 + 2 x y - 4 2 x = 0

Passo 1

Precisamos escrever a equação da cônica dada num sistema de coordenadas em que não aparece o termo misto x y . Para isso, consideremos a parte quadrática:

x 2 + y 2 + 2 x y

Ela pode ser escrita como

x y ⋅ 1 1 1 1 ⋅ x y

Vamos estudar a matriz

A = 1 1 1 1

Num sistema de coordenadas ( X , Y ) em que A for diagonal, o termo misto desaparecerá! Vamos procurar os autovalores de A :

1 - λ 1 1 1 - λ = 0

Assim,

1 - λ 2 - 1 = 0 ⇒ 1 - λ = ± 1

Portanto, temos

λ 1 = 0         e           λ 2 = 2

Passo 2

Agora que temos os autovalores, vamos procurar os autovetores. Para λ 1 = 0 :

1 1 1 1 ⋅ a b = 0 0 ⇒ a + b = 0 ⇒ a = - b

Portanto,

u 1 = a , b = a , - a = a 1 ,   - 1

Para que o vetor seja unitário, a = 1 / 2 :

u 1 = 1 2 , - 1 2

Já para λ 2 = 2 :

- 1 1 1 - 1 ⋅ a b = 0 0 ⇒ a - b = 0 ⇒ b = a

Logo,

u 2 = a ,   a = a 1 ,   1

Com a = 1 / 2 :

u 2 = 1 2 , 1 2

Passo 3

Assim, já temos que

x y ⋅ 1 1 1 1 ⋅ x y = X Y ⋅ 0 0 0 2 ⋅ X Y = 2 Y 2

Além disso,

x y = 1 2 1 2 - 1 2 1 2 ⋅ X Y

Portanto,

x = X 2 + Y 2         e         y = - X 2 + Y 2

Desta forma, a equação da cônica pode ser escrita como

2 Y 2 - 4 2 X 2 + Y 2 = 0

Assim,

2 Y 2 - 4 X - 4 Y = 0 ⇒ Y 2 - 2 X - 2 Y = 0

Trata-se de uma parábola, cujo gráfico é dado a seguir:

Resposta

Y 2 - 2 X - 2 Y = 0

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