Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 7.5 - Ex. 16
Efetuar uma rotação nos eixos coordenados a fim de eliminar o termo . Identificar a cônica e escrever sua equação no sistema obtido após a rotação. Esboçar o gráfico.
Passo 1
O problema pede para efetuarmos uma rotação no sistema de coordenadas para obter a equação de uma cônica sem o termo misto . Para isso, usamos que
A grande sacada do problema é que procuramos um sistema de coordenadas em que a matriz do meio é diagonal. Para isso, temos que diagonalizá-la!
Neste problema, a matriz pode ser escrita como
Passo 2
Vamos procurar os autovalores da matriz pela equação característica:
Assim,
Logo,
Note que neste problema não temos termos lineares em e . Desta forma, você não vai precisar escrever e como função de e , de modo que não precisamos procurar os autovetores, o que é motivo de muitas alegrias!!!
Passo 3
Assim, efetuando a rotação para o sistema , teremos
Assim, a equação da cônica é
Logo,
Trata-se de uma elipse cujo gráfico é dado a seguir:
