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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 16

Nos exercícios de 13 a 32, faça um esboço do gráfico da função f dada, determinando primeiro o seguinte: os extremos relativos de f; os pontos de inflexão do gráfico; os intervalos nos quais f é crescente e aqueles onde f é decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo; a inclinação das tangentes inflexionais, assíntotas horizontal, vertical e oblíqua, se existirem.

Passo 1

Seja f x = x - 1 3 ( x - 3 ) . Vejamos que as raízes são x = 1   e   x = 3 .

Passo 2

Calculando f ' ( x ) pela regra do produto, teremos:

u . v ' = u ' . v + u . v ' →

f ' x = 3 x - 1 2 x - 3 + x - 1 3 = x - 1 2 3 x - 3 + x - 1 →

f ' x = x - 1 2 ( 4 x - 10 )

Dessa maneira, temos que x = 1   e   x = 5 2 .

Passo 3

Calculando f ' ' ( x ) , também pela regra da cadeia, teremos:

f ' ' x = 2 x - 1 4 x - 10 + 4 x - 1 2 = x - 1 2 . 4 x - 10 + 4 x - 1 →

f ' ' x = ( x - 1 ) ( 12 x - 24 )

Dessa forma, teremos que as raízes de f ' ' x   s ã o   x = 1   e   x = 2 .

Logo, temos que a inclinação das tangentes inflexionais serão f ' 1 = 0   e   f ' ( 2 ) = - 2 .

Passo 4

Passo 5

Pelos dados acima e calculando alguns pontos da função, teremos o seguinte gráfico:

E o valor de mínimo relativo é - 1,69   q u a n d o   x = 2,5 .

Resposta

O extremo relativo de f   é : ( 2,5 , - 1,69 ) ( m í n i m o ) .

Os pontos de inflexão de f   s ã o : 1,0 e   ( 2 , - 1 ) .

A função é decrescente em x ∈ - ∞ ; 2,5 e crescente em x ∈ ( 2,5 ; + ∞ ) .

O gráfico é côncavo para baixo em x ∈ 1,2 e côncavo para cima em x ∈ ( - ∞ , 1 ) ∪ ( 2 , + ∞ ) .

A inclinação das tangentes inflexionais são f ' 1 = 0   e   f ' 2 = - 2 .

Gráfico:

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