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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 4

Nos Exercícios 1-4:

a. Determine f - 1 ( x ) .

b. Esboce em um único gráfico f e f - 1

c. Calcule d f / d x em x = a e d f - 1 / d x em x = f ( a ) para mostrar que nesses pontos d f - 1 / d x = 1 / ( d f / d x ) .

4. f x = 2 x 2 ,   x ≥ 0 ,   a = 5

Passo 1

a.

Para determinarmos sua inversa devemos, simplesmente, isolar o x :

f ( x ) = 2 x 2

f ( x ) 2 = x 2

x = f ( x ) 2

A raiz quadrada é positiva, pois o enunciado nos diz que x ≥ 0 .

Então,

f - 1 x = x 2

Passo 2

b.

Os dois gráficos são simples de desenhar por serem bastante conhecidos. O primeiro uma função do segundo grau só definida para x positivo e o segundo uma função raiz quadrada.

Podemos plotar alguns pontos, para termos um gráfico mais fiel. E vamos obter:

Passo 3

c.

A derivada da função é simples de ser calculada, pois é um polinômio bem simples:

f ' x = 2 2 x 1

f ' x = 4 x

Para acharmos a derivada no ponto a = 4 é só substituir na função da derivada:

f ' 4 = 4 ( 4 )

f ' 4 = 16

Passo 4

c.

A derivada da função inversa também é fácil por também ser um polinômio simples:

f - 1 x = 1 2 ⋅ x

d d x f - 1 x = 1 2 1 2 x

d d x f - 1 x = 1 2 2 x

Para x = f ( 4 ) :

f 4 = 2 4 2

f 4 = 32

Substituindo na derivada da inversa:

d d x f - 1 32 = 1 2 2 32

d d x f - 1 32 = 1 2 64

d d x f - 1 32 = 1 2 8

d d x f - 1 32 = 1 16

Passo 5

c.

Portanto no ponto x = 4 , a relação

d f - 1 d x = 1 d f d x

é valida, pois

d f - 1 d x = 1 16       e     d f d x = 16

Resposta

a. f - 1 x = x 2 b.

c. d f - 1 d x = 1 16       e     d f d x = 16

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