Enunciado

Nos Exercícios 1-4:

a. Determine f - 1 ( x ) .

b. Esboce em um único gráfico f e f - 1 .

c. Calcule d f d x em x = a e d f - 1 d x em x = f ( a ) para mostrar que nesses pontos d f - 1 d x = 1 d f d x .

1. f x = 2 x + 3 ,   a = - 1

Passo 1

a. Determinando f - 1 ( x ) , temos:

y = 2 x + 3

2 x = y - 3

x = y - 3 2

Agora voltando as variáveis para o formato convencional, que é y = f ( x ) , teremos:

y = f - 1 ( x ) = x - 3 2

Passo 2

b. Se esboçarmos o gráfico de f e f - 1 , teremos:

No qual f é a função verde, f - 1 é a função azul e a função pontilhada é y = x .

Passo 3

c. Calculando a derivada da função que nos foi cedida, teremos:

d f d x = ( 2 x + 3 ) '

∴ d f d x = 2

De acordo com o George na seção 8, temos que:

d f - 1 d x = 1 f ' ( f - 1 x )

∴ d f - 1 d x = 1 2

Dessa forma, fica provado que nesses pontos, de fato, d f - 1 d x = 1 d f d x é válido.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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