Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 10a

Nos exercícios de 2 a 15 :

Determine os traços

Determine as seções

Identifique a superfície quadrica

Esboce os gráficos

10.

Passo 1

Oii, neste capitulo vamos usar tudo o que sabemos de Geometria Analitica. Vamos arregaçar as mangas e rabiscar bastante no caderno. Vamos lembrar de algumas coisas basicas. Podemos expressar formar geometricas atraves de equações matematicas. E cada equação, mesmo que mude apenas um sinal de + ou – , vai nos dizer um comportamento geometrico diferente. Por exemplo temos essas equações

Parábola

Circulo

Agora se colocarmos um fator multiplicando x ou y esse circulo vai se achatar ficando oval. Chamamos isso de elipse. Voce pode encontrar essa forma sob os seguintes formatos

Ou,

Onde no segundo caso vemos de forma mais clara os raios de x e y. O raio de será e o raio de será .

Agora, se trocarmos o sinal da equação geral da elispse, obtemos uma hiperbole. Voce pode encontrar essa forma sob os seguintes formatos

Ou,

É interessante notar que se botarmos num mesmo plano as equações

Vemos o seguinte resultado

É como se o sinal forçasse a concavidade das curvas virar para dentro ou para fora. Para dentro elas se unem numa elipse e para fora as curvas explodem para infinito dando forma as hiperboles.

Passo 2

Quando o exercício pede traços ele quer que vejamos as imagens dessa função quadrica nos 3 planos coordenados: XY , XZ ,YZ. E com isso a gente conseguir formar imagens mais nítidas de como nossa quadrica deve ser. Vamos cair dentro então. Temos a função

Podemos manipular um pouco essa equação e obter o seguinte

Podemos perceber que isso no plano ZY, onde é um par de retas.

Como a variável x não esta na equação podemos concluir que nos planos XZ e XY vamos ter apenas um conjunto de pontos que não ajudam a ter uma boa ideia da quadrica. Afinal em :

Plano XY, temos que