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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 14

Calcule as integrais nos Exercícios 1-14.

14.

int (2 d x)/(x^3 sqrt(x^2 - 1)) d x , x > 1

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa integral, para isso a gente vai usar algumas substituições trigonométricas.

Vamos usar essa imagem de referência

Esse caso se encaixa no caso III.

Passo 2

Agora podemos fazer uma substituição

x = sec u d x = sec u * t g u d u

Vamos considerar também que

s e c^2 u - 1 = t g^2 u x^2 - 1 = t g^2 u

Então nossa integral fica

int (2 d x)/(x^3 sqrt(x^2 - 1)) d x = 2 int (1)/(sec^3 u * t g u) sec u * t g u d u = 2 int (1)/(sec^2 u) d u = 2 int cos^2 u d u

Passo 3

Para resolver essa integral vamos usar que

c o s^2 u = (1 + cos 2 u)/(2)

Então

2 int cos^2 u d u = 2 [int (1)/(2) d u + (1)/(2) int cos 2 u d u] = int d u + int cos 2 u d u

Passo 4

Agora vamos resolver essas integrais

int d u = u + C

A segunda integral

int cos 2 u d u

Fazemos uma substituição

v = 2 u d v = 2 d u

Então

int cos 2 u d u = (1)/(2) int cos v d v = (1)/(2) s e n v + C = (1)/(2) s e n 2 u + C

Passo 5

Sabemos que x = sec u

Também sabemos que x^2 - 1 = t g^2 u , isso implica x^2 - 1 = s e n^2 u * s e c^2 u e assim chegamos que s e n u = (sqrt(x^2 - 1))/(x^2)

Então

(1)/(2) s e n 2 u + C = (1)/(2) (sqrt(x^2 - 1))/(x^2)

E

u = s e c^(- 1) u

Logo o resultado da nossa integral é

s e c^(- 1) u + (sqrt(x^2 - 1))/(2 x^2) + C

Resposta

s e c^(- 1) u + (sqrt(x^2 - 1))/(2 x^2) + C

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