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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 17

Nos Exercícios de 15-34, use qualquer método para calcular as integrais. A maioria exigirá substituições trigonométricas, mas algumas podem ser calculadas por outros métodos.

17.

∫ x 3 x 2 + 4   d x  

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa integral.

Vamos usar essa imagem de referência para os casos onde serão necessárias substituições trigonométricas.

Esse caso se encaixa no caso I.

Passo 2

Nessa integral podemos usar a substituição trigonométrica onde

x = 2 ⋅ t g   u d x = 2 c o s 2 u d u = 2 ⋅ s e c 2 u   d u

Vamos usar também a relação trigonométrica onde

1 + t g 2 ѳ = s e c 2 ѳ

E aí podemos dizer que

4 + x 2 = 4 + 4 t g 2 u = 4 1 + t g 2 u = 4 s e c 2 u

E assim nossa integral fica

∫ x 3 x 2 + 4   d x   = ∫ ( 2 ⋅ t g   u ) 3 2 ⋅ sec ⁡ u ⋅ 2 ⋅ s e c 2 u   d u = 8 ∫ t g 3 u ⋅ sec ⁡ u   d u = 8 ∫ s e n 3 u c o s 4 u d u

Usando que s e n 2 u = 1 - c o s 2 u

8 ∫ s e n 3 u c o s 4 u d u = 8 ∫ ( c o s 2 u - 1 ) ( - s e n   u ) c o s 4 u d u = 8 - ∫ s e n   u c o s 2 u d u + ∫ s e n   u c o s 4 u d u

Passo 3

Agora vamos resolver essa integral

- 8 ∫ s e n   u c o s 2 u + s e n   u c o s 4 u d u

Vamos usar a substituição

v = cos ⁡ u d v = - s e n   u   d u

Então ficaremos com

8 ∫ 1 v 2 + 1 v 4 d v

Isso nos dá

8 - 1 v + 1 3 v 3 + C = 8 - 1 cos ⁡ u + 1 3 c o s 3 u + C = 8 - sec ⁡ u + s e c 3 u 3 + C

Passo 4

Mas x = 2 ⋅ t g   u     isso nos dá que x 2 = t g   u

1 + t g 2 u = s e c 2 u

Então 1 + x 2 2 = s e c 2 u

Logo

8 - sec ⁡ u + s e c 3 u 3 + C = 8 - x 2 + 4 2 + ( x 2 + 4 ) 3 2 8 ⋅ 3 + C

Resposta

8 - x 2 + 4 2 + ( x 2 + 4 ) 3 2 8 ⋅ 3 + C

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