Calcule.

∫ arctg ⁡ e x e x d x

Passo 1

Opa! Temos uma integral com o termo e x dentro de um arcotangente. O que complica a gente é essa função exponencial. Então vamos fazer uma substituição:

u = e x

d u = e x d x

Reescrevendo a integral

∫ arctg ⁡ e x e x d x = ∫ arctg ⁡ u u 2 d u

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora ficamos com um produto de dois tipos de funções diferentes (arcotangente e polinômio). Essa é dica para gente usar Integração por Partes:

∫ w d v = w v - ∫ v d w

Temos que:

w = arctg ⁡ u e d w = 1 1 + u 2 d u

d v = 1 u 2 d u e v = - 1 u

Substituindo:

∫ arctg ⁡ u u 2 d u = - arctg ⁡ u u - ∫ - 1 u 1 + u 2 d u = - arctg ⁡ u u + ∫ 1 u 1 + u 2 d u

A gente pode reescrever a integral assim,

= - arctg ⁡ u u + ∫ 1 u - u u 2 + 1 d u = - arctg ⁡ u u + ∫ 1 u d u + ∫ - u u 2 + 1 d u

Agora vamos integrar os dois separadamente!

Passo 3

É fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Assim vamos ficar com:

∫ 1 u d u = ln ⁡ u + C

Com a segunda vamos fazer uma substituição:

t = u 2 + 1

d t = 2 u d u

Vamos substituir agora:

∫ - u u 2 + 1 d u = ∫ - 1 2 t d t = - 1 2 ∫ 1 t d t = - 1 2 ln ⁡ t + C

Passo 4

Vamos agora juntar tudo:

∫ arctg ⁡ u u 2 d u = - arctg ⁡ u u + ∫ 1 u d u + ∫ - u u 2 + 1 d u = - arctg ⁡ u u + ln ⁡ u - 1 2 ln ⁡ t + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ arctg ⁡ u u 2 d u = - arctg ⁡ e x e x + ln ⁡ e x - 1 2 ln ⁡ e x 2 + 1 + C

Resposta

∫ arctg ⁡ e x e x d x = - arctg ⁡ e x e x + ln ⁡ e x - 1 2 ln ⁡ e x 2 + 1 + C

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