Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 43
Os exercícios de 43 a 45 referem-se à Seção Suplementar 6.7.
43. Uma tubulação horizontal cilíndrica tem um diâmetro interno de 4m e uma extremidade fechada por um registro circular que se ajusta à tubulação. Se a tubulação contiver água até uma frofundidade de 3m, ache a força no registro, exercida pela pressão da água.
Passo 1
Está questão, trata-se de uma parte que envolve aplicações de integrais definidas. Essas aplicações, podem está relacionada com as mais diversas áreas da engenharia. Para resolver está questão basta utilizar o que foi discutido na seção 6.7 mais conceitos de algumas técnicas de integração vistas até aqui.
Passo 2
Da Seção 6.7, temos que a força exercica pela pressão da água no registro é dada por:
Sendo assim, para o cálculo da força em questão nosso problema se resume em resolver a integral definida acima.
Passo 3
A integral pode ser calculada utilizando o conceito de substituição trigonométrica, ficando com:
A partir daí podemos obter quais são os limites de variação de substituindo os valors de x do limite de integração e obentendo que pertence ao intervalo fechado
Assim, temos que:
Logo, a integral pode ser reescrita como:
A força em questão é igual a:
Para obter o seu valor exato, basta substituir o valor exato da massa especifica da água de acordo com as unidades do enunciado da questão.