Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 44
Os exercícios de 43 a 45 referem-se à Seção Suplementar 6.7.
44. Uma comporta num canal de irrigação tem a forma de um segmento de círculo com 40cm de raio. A parte superior da comporta é horizontal e 30cm acima do ponto mais baixo. Se o nível da água estiver 20cm acima da borda da comporta, ache a força sobre ela, exercicida pela pressão da água.
Passo 1
Está questão, trata-se de uma parte que envolve aplicações de integrais definidas. Essas aplicações, podem está relacionada com as mais diversas áreas da engenharia. Para resolver está questão basta utilizar o que foi discutido na seção 6.7 mais conceitos de algumas técnicas de integração vistas até aqui
Passo 2
Da Seção 6.7, temos que a força exercica pela pressão da água no registro é dada por:
Sendo assim, para o cálculo da força em questão nosso problema se resume em resolver as duas integrais definidas acima.
Passo 3
A segunda integral pode ser calculada por:
Passo 4
A primeira integral pode ser calculada utilizando o conceito de substituição trigonométrica, ficando com:
Assim, temos que:
Logo, a integral pode ser reescrita como:
A força em questão é igual a:
Para obter o seu valor exato, basta substituir o valor exato da massa especifica da água de acordo com as unidades do enunciado da questão.