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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 4n

Calcule.

int arctg sqrt(x) d x

Passo 1

Vamos usar uma substituição:

u = sqrt(x)

d u = (1)/(2 sqrt(x)) d x

Vamos substituir agora:

int arctg sqrt(x) d x = int arctg u 2 sqrt(x) d u = int 2 u arctg u d u

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Vamos usar Integração por Partes:

int w d v = w v - int v d w

Temos que:

w = arctg u e d w = (1)/(1 + u^2) d u

d v = 2 u d u e v = u^2

Substituindo:

int 2 u arctg u d u = u^2 arctg u - int (u^2)/(1 + u^2) d u = u^2 arctg u - int - (1)/(1 + u^2) + 1 d u

Passo 3

É fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(1 + x^2) d x = arctg x + C

int k d x = k x + C

Assim vamos ficar com:

int 2 u arctg u d u = u^2 arctg u - int - (1)/(1 + u^2) + 1 d u = u^2 arctg u - (- arctg u + u) + C = u^2 arctg u + arctg u - u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int 2 u arctg u d u = u^2 arctg u + arctg u - u + C = sqrt(x)^2 arctg sqrt(x) + arctg sqrt(x) - sqrt(x) + C = x arctg sqrt(x) + arctg sqrt(x) - sqrt(x) + C

Resposta

int arctg sqrt(x) d x = x arctg sqrt(x) + arctg sqrt(x) - sqrt(x) + C

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