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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 16

Nos exercícios de 1 a 16, ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existir algum (16) f x = x + c o t g x ; π 6 , 2 π 3 .

Passo 1

Vamos encontrar as derivadas primeira e segunda da função:

f ' x = 1 - c s c ² ( x )

f ' ' x = - [ - csc ⁡ x c o t g x csc ⁡ x - csc ⁡ x csc ⁡ x c o t g x ] f ' ' x = 2 c s c 2 x c o t g ( x )

Passo 2

A primeira derivada vai nos indicar se há pontos críticos na função. Vamos igualar a expressão encontrada no passo anterior.

1 - c s c 2 x = 0 c s c 2 x = 1 1 s e n 2 x = 1 s e n 2 x = 1 s e n x = 1 x = s e n - 1 ( 1 ) x = π 2

O valor crítico é x = π 2 .

Passo 3

Vamos avaliar os pontos críticos na segunda derivada para encontrarmos os pontos de mínimo ou máximo local.

  • Para x = π 2

f ' ' π 2 = 2 c s c 2 π 2 c o t g π 2 f ' ' π 2 = 0

x = π 2 é um mínimo local porque o valor da segunda derivada é positivo.

Passo 4

Avaliando na função os pontos extremos do nosso intervalo temos:

f x = x + c o t g x = x + cos ⁡ x s e n ( x ) f π 6 = π 6 + cos ⁡ π 6 s e n π 6

f π 6 = π 6 + 3 2 1 2 f π 6 = π 6 + 3 2 * 2 = π 6 + 3 f π 6 = 2,25

f 2 π 3 = 2 π 3 + cos ⁡ 2 π 3 s e n 2 π 3 f 2 π 3 = 2 π 3 + - 1 2 3 2 f 2 π 3 = 2 π 3 - 1 2 * 2 3 f 2 π 3 = 2 π 3 - 1 3 f 2 π 3 = 2 π - 3 3 f 2 π 3 = 1,52

Agora vamos olhar o ponto crítico na função.

f π 2 = x + cos ⁡ x s e n x f π 2 = π 2 + cos ⁡ π 2 s e n π 2 f π 2 = π 2     f π 2 = 1,57

Como f 2 π 3 < f π 2 <   f ( π 6 ) , temos aqui um mínimo local.

Resposta

Portanto, não temos extremos nessa função, apenas um mínimo local, que é:

x = π 2   u m   m í n i m o   l o c a l .

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