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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 5.10 - Ex. 10

Nos exercícios 3 a 16, determinar os pontos críticos das funções dadas.

10. z = e x - y ( y 2 - 2 x 2 )

Passo 1

Vamos começar reescrevendo a função z=f(x,y) como :

z = e x - y y 2 - e x - y 2 x 2

Perceba que nós só aplicamos a propriedade distributiva.

Agora sim. Vamos calcular as derivadas parciais:

∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y =   - e x - y 2 x 2 - 4 x e x - y + y 2 e x - y , - e x - y y 2 + 2 y e x - y + e x - y 2 x 2

Passo 2

Igualando a zero, teremos:

∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = 0,0

- e x - y 2 x 2 - 4 x e x - y + y 2 e x - y = 0   ( 1 )

- e x - y y 2 + 2 y e x - y + e x - y 2 x 2 = 0   ( 2 )

Resolvendo a igualdade (1), vamos ter:

e x - y ( - 2 x 2 - 4 x + y 2 ) = 0

Como e x - y não vai ser igual a zero para nenhum x , y ∈ D f , podemos dividir os dois lados por esse termo.

Obtemos, portanto

- 2 x 2 - 4 x + y 2 = 0   ( 3 )

Resolvendo a igualdade (2), vamos ter:

e x - y - y 2 + 2 y + 2 x 2 = 0

Utilizando o mesmo argumento anterior, obtemos:

- y 2 + 2 y + 2 x 2 = 0   ( 4 )

Passo 3

Somando as equações (3) e (4), segue que

- 4 x + 2 y = 0

4 x = 2 y

2 x = y

Resposta

x , 2 x   c o m   x   ∈ R

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