Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 5.10 - Ex. 18
Nos exercícios 17 a 34, determinar os pontos críticos das funções dadas, classificando-os, quando possível.
18.
Passo 1
Então galera, para determinarmos os pontos críticos da função que nos foi dada, vamos inicialmente determinar as derivadas parciais de segunda ordem para, em seguida, utilizar o determinante Hessiano da função que temos, tudo bem? Ok! Nossa função é:
As derivadas serão:
Para :
Para as derivadas mistas:
Tudo bem, a primeira parte está concluída!
Passo 2
Igualando as derivadas a zero encontramos o ponto crítico . Sendo assim, temos que o determinante será:
Sendo assim, temos que nosso determinante deu um resultado positivo, vamos guardar isso!
Passo 3
O que devemos fazer agora é ver o sinal da derivada parcial no ponto , tudo bem? Substituindo, teremos:
Sendo assim, temos que nossa derivada resultou em um valor positivo também. Pelas proposições estudadas na seção 5.6.1 temos que quando o determinante e a derivada parcial, ambos calculados no ponto crítico, resultam em valores positivos, então isso implica que o ponto crítico em questão é um mínimo! Dessa forma, temos que:
Resposta
Ponto crítico: ;
Classificação: Mínimo.