Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 5.10 - Ex. 29

Nos exercícios 17 a 34, determinar os pontos críticos das funções dadas, classificando-os quando possível.

29-   z = x 2 +   y 2 -   2 x - 8 y + 7

Passo 1

Galera, a primeira coisa que temos que fazer é encontrar os pontos críticos dessa função. Para identificar esses pontos temos que resolver o seguinte sistema:

∂ f ∂ x = 0  

∂ f ∂ y = 0  

Ou seja, as derivadas parciais da função z = f(x,y) tem que ser iguais a zero.

Passo 2

Dessa forma, temos que:

∂ f ∂ x =   2 x - 2

∂ f ∂ y =   2 y - 8

Assim,

2 x - 2   = 0

x = 1

2 y - 8 = 0

y = 4

Logo, só temos um ponto crítico que é (1,4)

OKKKKK, mas a questão não para aí. A questão pediu pra gente classificar os pontos críticos.

Passo 3

Para classificarmos os pontos críticos, ou seja, determinar se eles são pontos máximos ou mínimos vamos usar a matriz hessiana:

H   x , y = ∂ 2 f ∂ x 2 ( x , y ) ∂ 2 f   ∂ y   ∂ x   ( x , y )           ∂ 2 f   ∂ x   ∂ y   ( x , y )           ∂ 2 f ∂ y 2 ( x , y )        

H   1,4 = 2 0           0           2    

H 1,4 =   4

Afinal o que isso quer dizer ????

Bom, como H   1,4 > 0 e ∂ 2 f ∂ x 2 1,4 > 0 , então ( 1,4 ) é um ponto de mínimo local de f.

Resposta

(1,4), ponto de mínimo .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções dos Exercícios 1-30.
Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de selanas funções dos Exercícios 1-30 f ( x , y ) = 1 x 2 + y 2 - 1
Para quais valores da constante k o teste da derivada de segunda ordem garante que ƒ(x, y) = x2 + kxy + y2 terá um ponto desela em (0, 0)? Um máximo local em (0, 0)? Para quais valoresde k o teste da
Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções dos Exercícios 1-30. f x ,y = e - y x 2 + y 2
Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de selanas funções dos Exercícios 1-30 f ( x , y ) = 56 x 2 - 8 y 2 - 16 x - 31 + 1 - 8 x