Uma placa de aço plana tem a forma de um círculo de raio a , como mostra a Figura 4.19. A temperatura em um ponto qualquer da chapa é proporcional ao quadrado da distância desse ponto ao centro da chapa, com uma constante de proporcionalidade k > 0 .

a) Se uma partícula localizada no ponto a 2 ,   0 se deslocar para a direita sobre o eixo dos x, sofrerá aumento ou diminuição de temperatura?

b) Qual a taxa de variação da temperatura em relação à variável y , no ponto ( a 2 ,   0 ) ?

Passo 1

Letra a)

Sabemos que:

d = x 2 + y 2

Aplicando a constante k, temos:

T x , y = k x 2 + y 2

Como a partícula se deslocará sobre o eixo dos x, devemos analizar a derivada parcial em relação a x:

∂ T d x = k x x 2 + y 2

Aplicando no ponto a 2 ,   0 , temos:

k x x 2 + y 2 = k ⋅ a 2 a 2 2 + 0 = k ⋅ a 2 a 2 = k

Como k > 0 , a partícula sofrerá aumento de temperatura.

Passo 2

Letra b)

Para descobrirmos a taxa de variação da temperatura em relação à variável y , no ponto ( a 2 ,   0 ) , primeiramente devemos analizar a derivada parcial em relação a y:

∂ T d y = k y x 2 + y 2

Aplicando no ponto a 2 ,   0 , temos:

k y x 2 + y 2 = k ⋅ 0 a 2 2 + 0 = 0 a 2 = 0

A taxa de variação da temperatura em relação à variável y , no ponto ( a 2 ,   0 ) , é de 0.

Resposta

a) Aumento;

b) 0.

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