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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 5.10 - Ex. 17

Nos exercícios 17 a 34, determinar os pontos críticos das funções dadas, classificando-os quando possível.

17-   z = 10 - x 2 -   y 2

Passo 1

Galera, a primeira coisa que temos que fazer é encontrar os pontos críticos dessa função. Para identificar esses pontos temos que resolver o seguinte sistema:

∂ f ∂ x = 0  

∂ f ∂ y = 0  

Ou seja, as derivadas parciais da função z = f(x,y) tem que ser iguais a zero.

Passo 2

Dessa forma, temos que:

∂ f ∂ x =   - 2 x

∂ f ∂ y =   - 2 y

Assim,

-   2 x = 0

-   2 y = 0

Logo, só temos um ponto crítico que é no x = 0 e y =0. ( 0,0)

OKKKKK, mas a questão não para aí. A questão pediu pra gente classificar os pontos críticos.

Passo 3

Para classificarmos os pontos críticos, ou seja, determinar se eles são pontos máximos ou mínimos vamos usar a matriz hessiana:

H   x , y = ∂ 2 f ∂ x 2 ( x , y ) ∂ 2 f   ∂ y   ∂ x   ( x , y )           ∂ 2 f   ∂ x   ∂ y   ( x , y )           ∂ 2 f ∂ y 2 ( x , y )        

H   0,0 = - 2 0           0           - 2    

H 0 ,   0 =   4

Afinal o que isso quer dizer ????

Bom, como H   0,0 > 0 e ∂ 2 f ∂ x 2 0,0 < 0 , então ( 0,0 ) é um ponto de máximo local de f.

Resposta

(0,0), ponto de máximo.

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