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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 5.10 - Ex. 25

Nos exercícios 17 a 34, determinar os pontos críticos das funções dadas, classificando-os quando possível.

25-   z = 8 x 3 +   2 x y - 3 x 2 +   y 2 +   1

Passo 1

Galera, a primeira coisa que temos que fazer é encontrar os pontos críticos dessa função. Para identificar esses pontos temos que resolver o seguinte sistema:

∂ f ∂ x = 0  

∂ f ∂ y = 0  

Ou seja, as derivadas parciais da função z = f(x,y) tem que ser iguais a zero.

Passo 2

Dessa forma, temos que:

∂ f ∂ x =   24 x 2 +   2 y - 6 x

∂ f ∂ y =   2 x + 2 y

Assim,

24 x 2 +   2 y - 6 = 0

2 x + 2 y = 0

Caracaaaa, mas e agora o que a gente faz com esse sistema ?!

Calma que a gente pode sumir com o y, o que vai facilitar bastante a nossa vida

Se multiplicarmos a segunda equação por -1 e somarmos as duas, teremos:

24 x 2 -   2 x - 6 x = 0

8 x     3 x - 1 =   0

x = 0   e   x = 1 3

Se x = 0,Podemos substituir esse valor na segunda equação ( que é mais fácil ) e teremos ....

0 + 2 y = 0

y = 0

Se x = 1 3 ,Podemos substituir esse valor na segunda equação e teremos ....

2 × 1 3 +   2 y = 0

y =   - 1 3

Logo, só temos dois pontos críticos: 0,0   e   ( 1 3 ,   - 1 3 )

OKKKKK, mas a questão não para aí. A questão pediu pra gente classificar os pontos críticos.

Passo 3

Para classificarmos os pontos críticos, ou seja, determinar se eles são pontos máximos ou mínimos vamos usar a matriz hessiana:

H   x , y = ∂ 2 f ∂ x 2 ( x , y ) ∂ 2 f   ∂ y   ∂ x   ( x , y )           ∂ 2 f   ∂ x   ∂ y   ( x , y )           ∂ 2 f ∂ y 2 ( x , y )        

H   x , y = 48 x - 6 2           2         2    

H 0 ,   0 =   - 16

H 1 3 , - 1 3 =   16

Afinal, o que isso quer dizer ????

Bom, como H   0,0 < 0 ,então ( 0,0 ) é um ponto sela.

Bom, como H   1 3 , - 1 3 > 0 , e ∂ f ∂ 2 x 1 3 , - 1 3 > 0   , então 1 3 , - 1 3 é um ponto de mínimo local.

Resposta

(0,0), ponto de sela.

1 3 , - 1 3   , ponto de mínimo.

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