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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.5 - Ex. 2

Nos exercícios 1 a 5, calcular as derivadas parciais de 1º ordem usando a definição.

2) f x , y = x 2 + y 2 - 10

Passo 1

Repare que nossa função é representada em função de x e y. Logo precisamos realizar a derivação por ambos.

Por definição, temos que:

∂ f ∂ x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x , y - f ( x , y ) ∆ x

Passo 2

Vamos começar derivando em função de x :

∂ f ∂ x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x , y - f ( x , y ) ∆ x

= lim ∆ x → 0 ⁡ x + ∆ x 2 + y 2 - 10 - x 2 - y 2 + 10 ∆ x

= lim ∆ x → 0 ⁡ x 2 + 2 x ∆ x + ∆ x 2 + y 2 - 10 - x 2 - y 2 + 10 ∆ x

= l i m ∆ x → 0 2 x + ∆ x

= 2 x

Passo 3

Agora vamos derivar em função de y:

∂ f ∂ y = lim ∆ y → 0 ⁡ f x , y + ∆ y - f ( x , y ) ∆ y

= lim ∆ y → 0 ⁡ x 2 + y + ∆ y 2 - 10 - x 2 - y 2 + 10 ∆ y

= lim ∆ y → 0 ⁡ y 2 + 2 y ∆ y + ∆ y 2 - y 2 ∆ y

= lim ∆ y → 0 ⁡ 2 y + ∆ y

= 2 y

Resposta

∂ f ∂ x = 2 x

∂ f ∂ y = 2 y

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