Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 5.10 - Ex. 26

Nos exercícios 17 a 34, determinar os pontos críticos das funções dadas, classificando-os, quando possível.

26.

Passo 1

Então galera, para encontrarmos os pontos críticos da função que nos foi dada basta derivarmos parcialmente a função em relação a e a e, em seguida, igualar as funções a zero! A função que nos foi dada é a seguinte:

Derivando em relação a :

Igualando ambas as equações a zero, teremos:

Da segunda equação temos que , certo? Aplicando na primeira equação, teremos:

Utilizando as noções de equações biquadradas, temos que:

Fazendo uma combinação entre os pontos, teremos que os pontos críticos serão: .

Passo 2

Para classificarmos se os pontos críticos se tratam de pontos de máximo ou pontos de mínimo, devemos determinar as derivadas parciais de segunda ordem para, em seguida, utilizar o determinante Hessiano da função que temos, tudo bem? As derivadas serão:

Para :

Para as derivadas mistas:

Tudo bem, as derivadas foram encontradas!

Passo 3

Agora que encontramos as derivadas parciais, temos que o determinante será:

Agora teremos que analisar o determinante para cada ponto crítico que encontramos, tudo bem? Sendo assim:

Pelas proposições estudadas, como o determinante deu menor do que zero, então é um ponto de sela.

Pelas proposições estudadas, como o determinante deu menor do que zero, então também é um ponto de sela.

Pelas proposições estudadas, como o determinante e a derivada parcial de segunda ordem no ponto deram valores positivos, então temos que é um ponto de mínimo. Por fim:

Pelas proposições estudadas, como o determinante deu positivo e a derivada parcial de segunda ordem no ponto deu negativo, então temos que é um ponto de máximo.