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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.8 - Ex. 7

Calcular ∬_R^() e^(2 (x^2 + y^2)) d x d y , sendo R o círculo x^2 + y^2 <= 4 .

Passo 1

Temos que os limites são dados por:

0 <= r <= 2

0 <= theta <= 2 pi

Passo 2

As coordenadas polares se dão da seguinte forma:

x = r cos theta ; y = r s e n theta ; x^2 + y^2 = r^2

Então, substituindo na equação dada, temos:

int_0^(2 pi) int_0^2 e^(2 r^2) * r d r d theta

Passo 3

Integrando para r :

int_0^2 r e^(2 r^2) d r = (e^(2 r^2))/(4)

Aplicando os limites:

(e^8)/(4) - (1)/(4) = (e^8 - 1)/(4)

Passo 4

Integrando para theta :

int_0^(2 pi) (e^8)/(4) d theta = (e^8)/(4) theta

Aplicando os limites:

(2 pi - 0) (e^8 - 1)/(4) = (( e^8 - 1 ) pi)/(2)

Resposta

(( e^8 - 1 ) pi)/(2)

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