Nos exercícios 18 a 24, representar geometricamente o campo gradiente definido pela função dada:

u x , y ,   z = 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2

Passo 1

A ideia nesse exercício será encontrar o campo gradiente da função que ele nos deu usando aquela formula lá da teoria. E em seguida, representar geometricamente esse campo. Para encontrarmos o campo, fazemos o assim:

g r a d   u = ∂ u ∂ x i → + ∂ u ∂ y j → + ∂ u ∂ z k →

Do enunciado a gente sabe o seguinte:

u x , y ,   z = 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2

Substituindo na expressão gradiente:

g r a d   u = ∂ 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 ∂ x i → + ∂ 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 ∂ y j → + ∂ 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 ∂ z k →

Logo,

g r a d   u = 4 x   i → + 4 y   j → + 4 z   k →

Passo 2

Usando um software de matemática, vemos que a representação geométrica para o g r a d   u será:

Resposta

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