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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.3 - Ex. 28

Nos Exercícios de 1 a 30, calcule a integral indefinida.

28 )   ∫ s e n 2 ( π x ) cos 6   ⁡ ( π x ) . d x    

Passo 1

Para começarmos a resolver a integral primeiro manipulá-la:

∫ s e n 2 ( π x ) cos 6   ⁡ ( π x ) . d x = ∫ s e n 2 ( π x ) cos 2   ⁡ ( π x ) . 1 cos 4   ⁡ ( π x ) d x = ∫ t g 2 ( π x ) . s e c 4 ( π x ) d x        

Lembrando que:

s e c ²   ( π x ) = t g ² ( π x ) + 1

∫ t g 2 π x . s e c 4 π x d x = ∫ t g 2 π x . t g 2 π x + 1 . s e c 2 π x d x =   ∫ t g 4 π x s e c 2 π x d x +   ∫ t g 2 π x s e c 2 π x d x    

Chamamos:

u = π x

d u = π d x

d u π = d x

= 1 π ∫ t g 4 u s e c 2 u d u + 1 π ∫ t g 2 u s e c 2 u d u

Para resolver fazemos uma segunda substituição:

z = t g   u

d z = s e c ²   u . d u

= 1 π ∫ z 4 . d z + 1 π ∫ z ² . d z = 1 π . z 5 5 + 1 π . z 3 3 = t g 5 u 5 π + t g 3 u 3 π = t g 5 ( π x ) 5 π + t g 3 ( π x ) 3 π

Resposta

∫ s e n 2 ( π x ) cos 6   ⁡ ( π x ) . d x = t g 5 ( π x ) 5 π + t g 3 ( π x ) 3 π + C

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